代数系统

一、运算及其性质

1、代数运算性质

(1)

代数运算定义:

设有非空集合𝐴,

𝑛是正整数,

从 f^n = 𝐴 × 𝐴 × ⋯ × 𝐴 到𝐴的一个映射: 𝑓: f^n → 𝐴 称为集合𝐴上一个𝑛元代数运算,

简称为n 元运算, 𝑛称为运算的阶.

例子：

二元运算𝑓: R^2 → 𝑅,对任意的𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝑅, 𝑓(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1 + 𝑥2

这是通常的加法运算.

(2)

对于代数运算𝑓: A^n→ 𝐴

定义域𝑑𝑜𝑚 𝑓 = A^n , 称为代数运算的全域性.

值域𝑟𝑎𝑛 𝑓 ⊆ 𝐴, 称为代数运算的封闭性.

(3)

通常用∼或¬来表示一元运算符

而用∗,∘,•,⊕,⊗等符号表示二元运算符.

(4)

由于代数系统中定义的运算可以扩展至数域以外,

所以运算规则本身不一定能用一个解析表达式表示,

而通常用运算表来定义.

对于有穷集合𝐴上的一元和二元运算, 常用运算表来表示.

一元：2*n

二元：(n+1)*(n+1)

(5)

定义:

设∗是定义在集合𝐴上的一个二元运算,

若对于任意的𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴, 都有: 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎

则称∗运算在集合𝐴上是可交换的 (Commutative). (∗运算满足交换律)

(6)

定义:

若对于任意的𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴,都有 (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)

则称∗运算在集合𝐴上是可结合的 (Associative). (∗运算满足结合律)

(7)

定义:

设∗是集合𝐴上的二元运算, 且是可结合的,

则对任意的𝑥 ∈ 𝐴,

定义: x^n = 𝑥 ∗ 𝑥 ∗ ⋯ ∗ 𝑥 (𝑛个𝑥做 ∗ 运算) 并称为𝑥的𝑛次幂(Power), 𝑛称为𝑥的指数 (Exponent).

定理:

对于任意的正整数𝑚和𝑛, 有

x^m*x^n = x^(m+n)

(x^m)^n = x^(m*n)

(8)

定义:

设∗是定义在集合𝐴上的一个二元运算,

若存在𝑥 ∈ 𝐴,使得𝑥 ∗ 𝑥 = 𝑥,

则称𝑥为∗ 运算的幂等元.

若𝐴中每个元素都是∗运算的幂等元, 则称 ∗运算满足幂等律.

(9)

定义:

设∗,𝛥是定义在集合𝐴上的两个二元运算,

对于任意的𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴,若有:

(1)𝑎 ∗ (𝑏𝛥𝑐) = (𝑎 ∗ 𝑏)𝛥(𝑎 ∗ 𝑐)

(2)(𝑏𝛥𝑐) ∗ 𝑎 = (𝑏 ∗ 𝑎)𝛥(𝑐 ∗ 𝑎)

则称∗运算对于𝛥运算是可分配的 (Distributive), 或称∗对𝛥满足分配律.

如果只有(1)式成立, 那么称∗对𝛥满足左分 配律.

如果只有(2)式成立, 那么称∗对𝛥满足右分配律.

(10)

定义:

设∗,𝛥是定义在集合𝐴上的两个二元运算,

对于任意的𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴,若有:

(1)𝑎 ∗ (𝑎𝛥𝑏) = 𝑎

(2)(𝑎𝛥𝑏) ∗ 𝑎 = 𝑎

则称∗运算对于𝛥运算是可吸收的 (Absorptive),或称∗对𝛥满足吸收律.

若只有(1)式成立, 则称∗对𝛥是左吸收的.

若只有(2)式成立, 则称∗对𝛥是右吸收的

2、特殊元

(11)

定义:

设∗是定义在集合𝑆上的一个二元运算:

(1)若存在一个元素el ∈ 𝑆,使得对于任意的𝑥 ∈ 𝑆, 都有el ∗ 𝑥 = 𝑥,则称el 是集合𝑆上关于∗运算的一个左单位元(左幺元).

(2)若存在一个元素er ∈ 𝑆,使得对于任意的 𝑥 ∈ 𝑆, 都有𝑥 ∗ er = 𝑥,则称er 是集合𝑆上关 于∗运算的一个右单位元(右幺元).

(3)若存在一个元素𝑒 ∈ 𝑆,并且𝑒既是左单位元 又是右单位元,则称𝑒是集合𝑆上关于∗运算的一个单位元(幺元).

(12)

定理:

设∗是定义在集合𝑆上的一个二元运算,

若∗运算同时存在一个左单位元el 和一 个右单位元er ,

则有 el = er = 𝑒, 且𝑒是集合𝑆中关于∗运算的唯一的一个幺元

(13)

定义:

设*是定义在集合𝑆上的一个二元运算.

(1)若存在一个元素𝜃l ∈ 𝑆,使得对于任意的 𝑥 ∈ 𝑆,都有𝜃l ∗ 𝑥 = 𝜃l ,则称𝜃l 是集合𝑆上关 于∗运算的一个左零元.

(2)若存在一个元素𝜃r ∈ 𝑆,使得对于任意的 𝑥 ∈ 𝑆,都有𝑥 ∗ 𝜃r = 𝜃r ,则称𝜃r 是集合𝑆上关 于∗运算的一个右零元.

(3)若存在一个元素𝜃 ∈ 𝑆,并且𝜃既是左零元又 是右零元,则称𝜃是集合𝑆上关于∗运算的一 个零元

(14)

定理:

设∗是定义在集合𝑆上的一个二元运算,

若∗运算同时存在一个左零元𝜃l 和一个 右零元𝜃r ,

则有: 𝜃l = 𝜃r = 𝜃 并且𝜃是集合𝑆中关于∗运算的唯一的一个零元

(15)

定义:

设∗是定义在集合𝑆上的一个二元运算,

𝑒是集合𝑆上关于∗运算的单位元, 对于 𝑥 ∈ 𝑆:

(1)若存在一个元素𝑏l ∈ 𝑆,使得𝑏l ∗ 𝑥 = 𝑒,则称 𝑥是左可逆的, 并称𝑏l 是𝑥的一个左逆元.

(2)若存在一个元素𝑏r ∈ 𝑆,使得𝑥 ∗ 𝑏r = 𝑒,则 称𝑥是右可逆的, 并称𝑏r 是𝑥的一个右逆元.

(3)若存在一个元素𝑏 ∈ 𝑆,使得𝑥 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑥 = 𝑒,则称𝑥是可逆的, 并称𝑏是𝑥的一个逆元.

(16)

定理:

设∗是定义在集合𝑆上的一个二元运 算,

𝑒是集合𝑆上关于∗运算的单位元,

若元 素𝑥 ∈ 𝑆同时存在左逆元𝑥l^-1和右逆元𝑥r^-1 ,

则有𝑥 l ^-1= 𝑥r^-1 = 𝑥^-1 ,并且𝑥^-1是𝑥的唯一的一个逆元.

(17)

定义：

设∗是定义在集合𝑆上的一个二元运算,

对于任意的𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴:

(1)若𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 ∗ 𝑐,且𝑎 ≠ 0,必有𝑏 = 𝑐

(2)若𝑏 ∗ 𝑎 = 𝑐 ∗ 𝑎,且𝑎 ≠ 0,必有𝑏 = 𝑐

则称∗运算是可消去的, 或称∗满足消去律.

若只有(1)式成立,则称∗是左可消去的.

若只有(2)式成立,则称∗是右可消去的

(18)

定理:

设∗是定义在集合𝑆上的一个二元运算且|𝑆| > 1,

若∗运算同时存在幺元𝑒和零元0,则必有𝑒 ≠ 0.

(19)

定理:

设∗是定义在集合𝑆上的一个二元运算,𝑒是𝑆上关于∗运算的幺元,

若元素𝑥 ∈ 𝑆 存在逆元𝑥^-1,则𝑥^-1也是可逆的, 且 (𝑥^-1)^-1 = 𝑥.

(20)

定理: 零元不存在逆元.

二、代数系统

(1)

定义:

设𝐴是一个非空集合, ∗1,∗2, ⋯ ,∗r 是代数运算.

称集合𝐴和代数运算∗1,∗2, ⋯ ,∗r 所组成的结构为代数系统,

记作 𝑈 = 〈𝐴,∗1,∗2, ⋯ ,∗r 〉,

集合𝐴称为代数系统的定义域(Domain).

当𝐴为有限集时, 称𝑈为有限代数系统.

(2)

在任意集合𝑆的幂集𝑃(𝑆)中,

考虑集合的补“∼”,并“∪”和交“∩”运算,

则〈𝑃(𝑆), ∼,∪ ,∩〉构成一个代数系统.

这个系统称为集合代数.

(3)

定义:

设有代数系统𝑈 = 〈𝐴,∗1,∗2, ⋯ ,∗r 〉,

𝑋 是𝐴的非空子集,

若运算∗1,∗2, ⋯ ,∗r 在𝑋上是封闭的,

则称代数系统 𝑉 = 〈𝑋,∗1,∗2, ⋯ ,∗r 〉 是𝑈的子代数,

同时称𝑈是𝑉的扩大.

若𝑋是 𝐴的真子集, 则𝑉为𝑈的真子代数.

三、代数系统的同态与同构

(1)

定义: 设𝑈 = 〈𝑋,∗1,∗2, ⋯ ,∗r 〉, 𝑉 = 〈𝑌, +1, +2, ⋯ , +r 〉是两个代数系 统, 若∗i 和+i 都是𝑘i 元运算, 𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑟, 则说这两个代数系统 是同一类型的.

(2)

定义:

设𝑈 = 〈𝑋,∗〉,𝑉 = 〈𝑌, +〉是两个同一类型的代数系统,

∗和+都是二元运算, 𝑓是 从𝑋到𝑌的一个函数映射,

若对于任意的 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝑋,都有 𝑓(𝑥1 ∗ 𝑥2) = 𝑓(𝑥1) + 𝑓(𝑥2)

则称𝑓是从代数系统𝑈到代数系统𝑉的一 个同态映射,

或称代数系统𝑈和代数系统𝑉 同态.

当𝑓分别是单射, 满射和双射时, 称𝑓为单同态映射, 满同态映射和同构映射.

(3)

定义：

如果代数系统𝑈和代数系统𝑉之间存在同构映射𝑓,

那么称代数系统𝑈和代数系统𝑉 同构.

通常记作𝑈 ≅ 𝑉.

如果𝑓是从代数系统𝑈 = 〈𝑋,∗〉到𝑈 = 〈𝑋,∗〉 的同态映射, 则称𝑓是自同态映射.

如果𝑓是从代数系统𝑈 = 〈𝑋,∗〉到𝑈 = 〈𝑋,∗〉 的同构映射, 则称𝑓是自同构映射.

(4)

定义:

设𝑈 = 〈𝑋,∘,▵〉和代数系统𝑉 = 〈𝑌,•,▴〉是两个同一类型的代数系统,

∘,▵,•,▴ 都是二元运算,

映射 𝑓: 𝑋 → 𝑌,若对 ∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝑋,都有:

𝑓(𝑥1 ∘ 𝑥2) = 𝑓(𝑥1) • 𝑓(𝑥2)

𝑓(𝑥1 ▵ 𝑥2) = 𝑓(𝑥1) ▴ 𝑓(𝑥2)

则称𝑓是从代数系统𝑈到代数系统𝑉的一 个同态映射.

或称代数系统𝑈和代数系统𝑉 同态.

若𝑓分别是单射, 满射和双射, 分别称𝑓为 单同态映射, 满同态映射和同构映射.

(5)

定理:

若𝑓是从〈𝐴,∗〉到〈𝐵,∘〉的同态映射, 𝑔 是从〈𝐵,∘〉到〈𝐶,⊙〉的同态映射.

则复合函 数𝑓 ⋅ 𝑔是从〈𝐴,∗〉到〈𝐶,⊙〉的同态映射. 其 中∗,∘,⊙为二元运算.

(6)

定理:

给定代数系统𝑈 = 〈𝑋,∗〉和𝑉 = 〈𝑌,∘〉, 函数𝑓: 𝑋 → 𝑌是从𝑈到𝑉的同态映射, 则代数系统𝑉 ‘ = 〈𝑓(𝑋),∘〉是𝑉的子代数, 并称𝑉 ‘ 是在𝑓作用下𝑈的同态像

四、同余关系与商代数系统

1、同余关系

(1)

定义:

设∗是定义在集合𝐴上的一个二元运算, 𝑅是𝐴上的一个等价关系.

如果对于任 意的𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴,𝑦1, 𝑦2 ∈ 𝐴,都有:

〈𝑥1, 𝑦1〉 ∈ 𝑅  ∧ 〈𝑥2, 𝑦2〉 ∈ 𝑅  ⇒   〈𝑥1 ∗ 𝑥2, 𝑦1 ∗ 𝑦2〉 ∈ 𝑅

那么称关系𝑅对于二元运算∗满足代换性质

(2)

定义:

设有代数系统𝑈 = 〈𝐴,∗〉,其中, ∗是定义在集合𝐴上的二元运算,

𝑅是𝐴上的一个等价关系.

若𝑅对于𝐴上的∗运算满足代换性质, 则称𝑅为集合𝐴上关于∗运算的同余关系(Congruence relation).

此时, 𝑅的等价类为同余类(Congruence classes).

注: 也即具有代换性质的等价关系称为同余关系

(3)

定理:

设𝑓是代数系统𝑈 = 〈𝐴,∗〉到代数系 统𝑉 = 〈𝐵, #〉的同态映射,

∗和#是𝐴和𝐵上 的二元运算,

𝑅是𝐴上的二元关系: 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝑅当且仅当𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑦).

则𝑅是𝐴上的一个同余关系. 称𝑅为由同态映射𝑓诱导的同余关系.

2、商代数

(4)

定义:

设𝑅是代数系统𝑈 = 〈𝑋,∗〉上的一个 同余关系,

∗是定义再集合𝑋上的二元运算.

构成一个代数系统𝑉 = 〈𝑋/𝑅,⊙〉,其中

(1)𝑋/𝑅 = {[𝑥]R|𝑥 ∈ 𝑋}

(2)对于任意的[𝑥]R, [𝑦]R∈ 𝑋/𝑅

[𝑥]R⊙ [𝑦]R = [𝑥 ∗ 𝑦]R 称代数系统𝑉到𝑈关于𝑅的商代数系统,

简称商代数, 记作𝑈/𝑅.

(5)

定义:

设𝑅是集合𝐴上的一个等价关系,

若有函数𝑓: 𝐴 → 𝐴/𝑅: ∀𝑥 ∈ 𝐴,    𝑓(𝑥) = [𝑥]R

则称𝑓是从集合𝐴到商集𝐴/𝑅的正则映射或规范映射.

(6)

定理:

若𝑅是代数系统𝑈 = 〈𝐴,∗〉上的同余关系,

其中∗是二元运算,

𝑈对𝑅的商代数 𝑈/𝑅 = 〈𝐴/𝑅,⊙〉,

则正则映射 𝑓: 𝐴 → 𝐴/𝑅 是从𝑈到𝑉的同态映射.

此时称𝑓为由同余关系𝑅诱导出的同态映射.

(7)

定理:

若𝑓是从代数系统𝑈 = 〈𝐴,∗〉到𝑉 = 〈𝐵,∘〉的同态映射,

𝑅是𝑓诱导的𝑈上的同余关系.

其中, ∗和∘是二元运算.

则在商代数𝑈/𝑅 = 〈𝐴/𝑅,⊙〉与同态像𝑉 ‘ = 〈𝑓(𝐴),∘〉之间存在同构映射 𝑔: 𝐴/𝑅 → 𝑓(𝐴),

即代数系统〈𝐴/𝑅,⊙〉与代数系统𝑉 ‘ = 〈𝑓(𝐴),∘〉同构