最低通行费（动态规划）题解

小半 • 2023年2月15日上午10:12 • 软件工程 • 阅读 154

描述

一个商人穿过一个 N*N 的正方形的网格，去参加一个非常重要的商务活动。他要从网格的左上角进，右下角出。每穿越中间1个小方格，都要花费1个单位时间。商人必须在(2N-1)个单位时间穿越出去。而在经过中间的每个小方格时，都需要缴纳一定的费用。

这个商人期望在规定时间内用最少费用穿越出去。请问至少需要多少费用？

注意：不能对角穿越各个小方格（即，只能向上下左右四个方向移动且不能离开网格）。

输入

第一行是一个整数，表示正方形的宽度N (1 <= N < 100)；
后面 N 行，每行 N 个不大于 100 的整数，为网格上每个小方格的费用。

输出

至少需要的费用。

样例输入

5
1 4 6 8 10
2 5 7 15 17
6 8 9 18 20
10 11 12 19 21
20 23 25 29 33

样例输出

109

思路：

属于动态规划求最小值模型。关键是初始化边界。

AC代码：

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 110,INF = 1e9;
int n;
int w[N][N];
int f[N][N];

int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            cin>>w[i][j];
    //方法一：
    // for(int i=1;i<=n;i++){
    //     f[i][1] = f[i-1][1]+w[i][1];
    // }
    // for(int i=1;i<=n;i++){
    //     f[1][i] = f[1][i-1]+w[1][i];
    // }
    // for(int i=2;i<=n;i++)
    //     for(int j=2;j<=n;j++)
    //         f[i][j] = min(f[i-1][j],f[i][j-1])+w[i][j];
    //方法二：
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(i == 1&&j == 1) f[i][j] = w[i][j];
            else{
                f[i][j] = INF;
                if(i>1) f[i][j] = min(f[i][j],f[i-1][j]+w[i][j]);
                if(j>1) f[i][j] = min(f[i][j],f[i][j-1]+w[i][j]);
            }
        }
    cout<<f[n][n]<<endl;
}