什么是最小生成树？
最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree),简称MST.
最小生成树要求图是连通图。连通图指图中任意两个顶点都有路径相通，通常指无向图。理论上如果图是有向、多重边的，也能求最小生成树，只是不太常见。
普利姆算法
算法介绍
应用 –> 修路问题
图解分析
假设从A村开始
1.从<A>顶点开始处理==============>> <A,G>
A – C[7] A – G[2] A – B[5]
2.<A,G>开始，将A和G顶点和他们相邻的还没有访问的顶点进行处理=> <A,G,B,E>
A – C[7] G – E[4] G – F[6] B – D[9]
3.<A,G,B>开始，将A,G,B顶点和他们相邻的还没有访问的顶点进行处理 => <A,G,B,E>
A – C[7] G – E[4] G – F[6] B – D[9]
………..
4.<A,G,B,E> -> F//第4次大循环，对应边<E,F> 权值：5
5.<A,G,B,E,F> -> D//第5次大循环，对应边<F,D>权值：4
6.<A,G,B,E,F,D> -> C//第6次大循环，对应边<A,C>权值：7
public class PrimAlgorithm {
public static void main(String[] args) {
// 测试图是否创建成功
char[] data = new char[] { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };
int verxs = data.length;
// 邻接矩阵的关系使用二维数组表示，10000这个大数，表示两个点不连通
int[][] weight = new int[][] { { 10000, 5, 7, 10000, 10000, 10000, 2 }, { 5, 10000, 10000, 9, 10000, 10000, 3 },
{ 7, 10000, 10000, 10000, 8, 10000, 10000 }, { 10000, 9, 10000, 10000, 10000, 4, 10000 },
{ 10000, 10000, 8, 10000, 10000, 5, 4 }, { 10000, 10000, 10000, 4, 5, 10000, 6 },
{ 2, 3, 10000, 10000, 4, 6, 10000 }, };
// 创建MGraph对象
MGraph graph = new MGraph(verxs);
// 创建一个MinTree对象
MinTree minTree = new MinTree();
minTree.createGraph(graph, verxs, data, weight);
// 输出
minTree.showGraph(graph);
// 测试普利姆算法
minTree.prim(graph, 0);
}
}
//创建最小生成树 -> 村庄的图
class MinTree {
/**
* 创建图的邻接矩阵
*
* @param graph 图对象
* @param verxs 图对应的顶点个数
* @param data 图的各个顶点的值
* @param weight 图的邻接矩阵
*/
public void createGraph(MGraph graph, int verxs, char data[], int[][] weight) {
int i, j;
for (i = 0; i < verxs; i++) {
graph.data[i] = data[i];
for (j = 0; j < verxs; j++) {
graph.weight[i][j] = weight[i][j];
}
}
}
/**
* 显示图的邻接矩阵
*/
public void showGraph(MGraph graph) {
for (int[] link : graph.weight) {
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}
/**
* 编写prim算法，得到最小生成树
*
* @param graph 图
* @param v 表示从图的第几个顶点开始生成'A' -> 0 'B' -> 1...
*/
public void prim(MGraph graph, int v) {
// visited[] 标记节点(顶点)是否被访问过
int visited[] = new int[graph.verxs];
// visited[] 默认元素的值都是0，表示没有访问过
for (int i = 0; i < graph.verxs; i++) {
visited[i] = 0;
}
// 把当前这个节点标记为已访问
visited[v] = 1;
// h1 和 h2 记录两个顶点的下标
int h1 = -1;
int h2 = -1;
int minWeight = 10000;// 将minWeight初始成一个大数，后面在遍历过程中，会被替换
for (int k = 1; k < graph.verxs; k++) {// 因为有graph,verxs顶点,普利姆算法结束后,有graph.verxs -1边
// 这个是确定每一次生成的子图，那个节点和这次遍历的节点距离最近
for (int i = 0; i < graph.verxs; i++) {// i节点表示被访问过的节点
for (int j = 0; j < graph.verxs; j++) {// j节点表示还没有访问过的节点
if (visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) {
// 替换minWeight(寻找已经访问过的节点和未访问过的节点间的权值最小的边)
minWeight = graph.weight[i][j];
h1 = i;
h2 = j;
}
}
}
// 找到一条边最小
System.out.println("边<" + graph.data[h1] + "," + graph.data[h2] + ">权值：" + minWeight);
// 将当前这个节点标记未已经访问
visited[h2] = 1;
// minWeight 重新设置为最大值10000
minWeight = 10000;
}
}
}
class MGraph {
int verxs; // 表示图的节点个数
char[] data; // 存放节点数据
int[][] weight; // 存放边，就是邻接矩阵
public MGraph(int verxs) {
this.verxs = verxs;
data = new char[verxs];
weight = new int[verxs][verxs];
}
}克鲁斯卡尔算法
算法介绍
应用场景 — 公交站问题
算法图解
以上图G4为例，来对克鲁斯卡尔进行演示(假设，用数组R保存最小生成树结果)。
算法分析
根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题：
问题一：对图的所有边按照权值大小进行排序。
问题二：将边添加到最小生成树中时，咋样判断是否形成了回路。
问题一很好解决，采用排序算法进行排序即可。
问题二，处理方式是：记录顶点在”最小生成树”中的终点，顶点的终点是”在最小生成树中与它连通的最大顶点”。然后每次需要将一条边添加到最小生成树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。
如何判断是否构成回路–举例说明(如图)
代码实现
public class KruskalCase {
private int edgeNum;// 边的个数
private char[] vertexs;// 顶点数组
private int[][] matrix;// 邻接矩阵
// 使用INF 表示两个顶点不能连通
private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;
public static void main(String[] args) {
char[] vertexs = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };
// 克鲁斯卡尔算法的邻接矩阵
int matrix[][] = {
/* A *//* B *//* C *//* D *//* E *//* F *//* G */
/* A */{ 0, 12, INF, INF, INF, 16, 14 }, /* B */{ 12, 0, 0, INF, INF, 7, INF },
/* C */{ INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF }, /* D */{ INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF },
/* E */{ INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8 }, /* F */{ 16, 7, 6, INF, 2, 0, 9 },
/* G */{ 14, INF, INF, INF, 8, 9, 0 } };
// 创建KruskalCase 对象实例
KruskalCase kruskalCase = new KruskalCase(vertexs, matrix);
// 输出构建的
kruskalCase.print();
kruskalCase.kruskal();
}
// 构造器
public KruskalCase(char[] vertexs, int[][] matrix) {
// 初始化顶点数和边的个数
int vlen = vertexs.length;
// 初始化顶点,使用的是复制拷贝的方式
this.vertexs = new char[vlen];
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
this.vertexs[i] = vertexs[i];
}
// 初始化边，使用的是复制拷贝的方式
this.matrix = new int[vlen][vlen];
for (int i = 0; i < vlen; i++) {
for (int j = 0; j < vlen; j++) {
this.matrix[i][j] = matrix[i][j];
}
}
// 统计边的条数
for (int i = 0; i < vlen; i++) {
for (int j = i + 1; i < vlen; j++) {
if (this.matrix[i][j] != INF) {
edgeNum++;
}
}
}
}
public void kruskal() {
int index = 0;// 表示最后结果数组的索引
int[] ends = new int[edgeNum];// 用于保存"已有最小生成树"中的每个顶点在最小生成树中的终点
// 创建结果数组，保存最后的最小生成树
EData[] rets = new EData[edgeNum];
// 获取图中所有的边的集合，一共有12条边
EData[] edges = getEdges();
System.out.println("图的边的集合=" + Arrays.toString(edges) + "共" + edges.length);
//按照边的权值大小进行排序(从小到大)
sortEdges(edges);
//遍历edges数组，将边添加到最小生成树中时，判断准备加入的边是否形成了回路，如果没有，就加入rets,否则不能加入
for(int i = 0;i < edgeNum;i++) {
//获取到第i条边的第一个顶点(起点)
int p1 = getPosition(edges[i].start);
//获取到第i条边的第2个顶点
int p2 = getPosition(edges[i].end);
//获取p1这个顶点在已有最小生成树中的终点
int m = getEnd(ends, p1);
//获取p2这个顶点在已有最小生成树中的终点
int n = getEnd(ends, p2);
//是否构成回路
if(m != n) {//没有构成回路
ends[m] = n;//设置m在"已有最小生成树"中的终点<E,F> [0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0]
rets[index++] = edges[i];//有一条边加入到rets数组
}
}
//统计并打印"最小生成树",输出rets
System.out.println("最小生成树为");
for(int i = 0;i < index;i++) {
System.out.println(rets[i]);
}
}
// 打印邻接矩阵
public void print() {
System.out.println("邻接矩阵为：\n");
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
for (int j = 0; j < vertexs.length; j++) {
System.out.printf("%20d\t", matrix[i][j]);
}
System.out.println();
}
}
/**
* 功能：对边进行排序处理，冒泡排序
*
* @param edges 边的集合
*/
private void sortEdges(EData[] edges) {
for (int i = 0; i < edges.length - 1; i++) {
for (int j = 0; j < edges.length - 1 - i; j++) {
if (edges[j].weight > edges[j + 1].weight) {// 交换
EData tmp = edges[j];
edges[j] = edges[j + 1];
edges[j + 1] = tmp;
}
}
}
}
/**
* @param ch 顶点的值，比如'A','B'
* @return 返回ch顶点对应的下标，如果找不到，返回-1
*/
private int getPosition(char ch) {
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
if (vertexs[i] == ch) {// 找到
return i;
}
}
// 找不到，返回-1
return -1;
}
/**
* 功能：获取图中边，放到EData[]数组中，后面我们需要遍历该数组 是通过matrix邻接矩阵来获取 EData[]
* 形式[['A','B',12],['B','F',7],...]
*
* @return
*/
private EData[] getEdges() {
int index = 0;
EData[] edges = new EData[edgeNum];
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
for (int j = i + 1; j < vertexs.length; j++) {
if (matrix[i][j] != INF) {
edges[index++] = new EData(vertexs[i], vertexs[j], matrix[i][j]);
}
}
}
return edges;
}
/**
* 功能：获取下标为i的顶点的棕垫终点(),用于后面判断两个顶点的终点是否相同
*
* @param ends 数组就是记录了各个顶点对应的终点是那个，ends数组是在遍历过程中，逐步形成
* @param i 表示传入的顶点对应的下标
* @return 返回的就是下标为i的这个顶点对应的终点的下标
*/
private int getEnd(int[] ends, int i) {
while (ends[i] != 0) {
i = ends[i];
}
return i;
}
}
//创建一个类EData,它的对象实例就表示一条边
class EData {
char start;// 边的一个点
char end;// 边的另外一个点
int weight;// 边的权值
// 构造器
public EData(char start, char end, int weight) {
this.start = start;
this.end = end;
this.weight = weight;
}
// 重写toString,便于输出边
@Override
public String toString() {
return "EData [start=" + start + ", end=" + end + ", weight=" + weight + "]";
}
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