说明：现在处于初学算法的阶段，对动态规划的理解很浅，后面准备刷题、在图书馆查找资料，还会对这篇博客进行补充！！！
一、动态规划算法的介绍
动态规划算法的核心就是记住已经解决过的子问题的解
二、动态规划经典应用：背包问题
背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价值最大。又分为01背包和完全背包(完全背包指的是：每种物品都有无限件可用)；完全背包可以转换为01背包。
01背包
思路分析
算法的主要思想，利用动态规划来解决。每次遍历到的第i个物品，根据w[i]和v[i]来确定是否需要将该物品放入到背包中。即对于给定的n个物品，设v[i]、w[i]分别为第i个物品的价值和重量，C为背包的容量。再令v[i][j]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值。则有下面的结果：
1）v[i][0] = v[0][j] = 0;//表示填入表第一行和第一列是0
2）当w[i] > j时：v[i][j] = v[i – 1][j] //当准备加入新增的商品的容量大于当前背包的容量时，就直接使用上一个单元格的装入策略
3）当j >= w[i]时，v[i][j] = max( v[i – 1][j],v[i] + v[i – 1][j – w[i]] ) //当准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量，
//装入的方式：
v[i – 1][j]: 就是上一个单元格的装入的最大值
v[i]:表示当前商品的价值v[i – 1][j – w[i]]: 装入i- 1商品，到剩余空间j – w[i]的最大值
当j >= w[i]时：v[i][j] = max( v[i – 1][j],v[i] + v[i – 1][j – w[i]] )
public class KnapsackProblem {
public static void main(String[] args) {
int[] w = { 1, 4, 3 };// 物品的重量
int[] val = { 1500, 3000, 2000 };// 物品的价值 这里val[i]就是前面讲的v[i]
int m = 4;// 背包的容量
int n = val.length;// 物品的个数
// 创建二维数组
// v[i][j]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值
int[][] v = new int[n + 1][m + 1];
// 为了记录放入商品的情况，定义一个二维数组
int[][] path = new int[n + 1][m + 1];
// 初始化第一行和第一列，这里在本程序中，可以不去处理，因为默认就是0
for (int i = 0; i < v.length; i++) {
v[i][0] = 0;// 将第一列设置为0
}
for (int i = 0; i < v[0].length; i++) {
v[0][i] = 0;// 将第一行设置0
}
// 根据前面得到公式来动态规划处理
for (int i = 1; i < v.length; i++) {// 不处理第一行，i是从1开始的
for (int j = 1; j < v[0].length; j++) {// 不处理第一列，j是从1开始的
// 公式
if (w[i - 1] > j) {// 因为程序i是从1开始的，因此原来公式中的w[i]修改成w[i - 1]
v[i][j] = v[i - 1][j];
} else {
// 说明:因为i是从1开始的，因此公式需要调整成
// v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]);
// 为了记录商品存放到背包的情况，我们不能直接使用上面的公式，需要使用if-else来体现公式
if (v[i - 1][j] < val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]) {
v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]];
// 把当前的情况记录到path
path[i][j] = 1;
} else {
v[i][j] = v[i - 1][j];
}
}
}
}
// 输出一下v 看看目前的情况
for (int i = 0; i < v.length; i++) {
for (int j = 0; j < v[i].length; j++) {
System.out.print(v[i][j] + " ");
}
System.out.println();
}
// 输出最后是放入的那些商品
// 遍历path
System.out.println("==============================");
// for (int i = 0; i < path.length; i++) {
// for (int j = 0; j < path[i].length; j++) {
// if (path[i][j] == 1) {
// System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n", i);
// }
// }
// }
// 动脑筋
int i = path.length - 1;// 行的最大下标
int j = path[0].length - 1;// 列的最大下标
while (i > 0 && j > 0) {// 从path的最后开始找
if (path[i][j] == 1) {
System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n", i);
j -= w[i - 1];
}
i--;
}
}
}
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