C | 从研究pow(3, 3)打印结果为0到学习IEEE浮点标准

前言

先说一下写这篇文章的起因，源于昨天一个朋友问我问题：

代码对应如下：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main () {
    int a, b;
    scanf("%d%d", &a, &b);
    printf("%d", pow(a, b));
    return 0;
}

相信知道pow返回值为double的同学，应该都可以大概可以猜到原因就和double为64位，在进行整型格式化输出时，导致高32位截断，低32位全为0有关，下面是pow函数的函数声明，可以看到pow返回类型为double：

_CRTIMP	double __cdecl pow (double, double);

接下来就来具体探究原因。

IEEE 浮点表示

C语言的浮点数表示采取了IEEE浮点标准，这里不详细展开，具体信息可以查看IEEE 754浮点数标准详解，或者查看《深入理解计算机系统》这本书（以下简称为CSAPP）的 2.4 浮点数中的部分，该书的 pdf 文件链接也在文末给出，在正式讲解之前先说明本文并不会详细讲明浮点数的底层表示标准，将尽可能用简单且容易理解的方式向你介绍，并让你了解造成这一结果的原因，以及以后编程中需要注意的东西。

IEEE浮点标准使用 V = (-1)^s * M * 2^E 的形式来表示一个数（相信学过科学计数法的对这一表示都感到熟悉，下列解释为了便于理解有删减，但不影响整体的认识，想深入学习的还是建议查看CSAPP）：

• 符号(sign) s是决定该数（V）为正（s = 0）还是为负（s = 1）；
• 尾数(significand) M是一个二进制小数，一般都是1 ~ 2之间，就像在十进制中，这个对应的范围是1 ~ 10之间一样；
• 阶码(exponent) E可以简单理解为我们在十进制科学计数法中的指数（可为负）。

此外浮点数的位表示被划分成了三部分：

• 使用最高的一位代表符号位（s）;
• k 位的阶码 exp （由上述的 E 计算得出）；
• n 位的小数段 frac （由上述的 M 计算得出）。

在 C 语言中，我们以 32 位的float和 64 位的double为例：

1. 对于float而言，上述的s, exp, frac分别取值为 1，8，23；
2. 对于double而言，上述的s, exp, frac分别取值为 1，11，52。

对应下图：

在讲解如何讲一个浮点数转换为上图表示之前，我们先了解一下，如何计算浮点数的二进制表示。

小数的二进制

我们先看一个十进制的例子：对于小数0.29，即对应 2 * 10^-1 + 9 * 10^-2，而二进制的表示也是同理：对于二进制小数 0.11，即对应1 * 2^-1 + 1 * 2^-2（0.5 + 0.25 = 0.75）。那么我们又如何从一个十进制小数得到对应的二进制小数呢，我们以一个能够精确转换的0.625为例，由于整数部分为 0，所以对应二进制小数的整数部分也为 0，对于小数部分的计算使用一下规则：从第一个小数位开始，每个小数位等于当前十进制小数位乘 2 后的整数位（为 0 或者 1 ），然后当前数变为乘 2 后的小数位，直到当前数为 0 为止，这样解释可能有点绕，下面就通过0.625的例子来详细展示：

因此，通过查看最后一列，我们就得到了0.625对应的二进制小数0.101，下面我就开始步入正题啦！

由十进制数得到 IEEE 表示数

在这里我们仅以十进制转化为double为例（为了方便等下讲解的开篇的pow函数问题），float转换也同理，我们就先以pow(3, 0)的结果27为例，对应二进制数为11011，先转换为IEEE浮点标准的形式：1.1011 * 2⁴，然后我们来得到s, exp, frac的对应结果：

• 27 为正，故最高位 s 为0；
• exp为 1023 + E = 1023 + 4 = 1027（在float中这个1023需要改变为127），对于 1027，其对应的 11 位二进制为1000 0000 011（在float中exp只有 8 位）;
• frac取 M 的小数段并在末尾补0，补够 52 位（在float中为 23 位），因此frac对应的二进制结果是 1011后面再加 48 个 0。

因此，我们最终得到27对应的二进制数为0100 0000 0011 1011 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000。

我们可以在Java中通过以下代码来验证：

public static void main(String[] args) {
    // output: 100000000111011000000000000000000000000000000000000000000000000
    // 注意：打印结果是从第一个不为0的位开始打印的，上述结果对应我们自己计算得到的后63位
	System.out.println(Long.toBinaryString(Double.doubleToLongBits(27)));
}

由于我们运行的环境中int为32位，而double为 64 位，因此格式化输出时会对原数进行截断处理，只取低 32 位，也就得到了0。

当然你可能还是不太相信格式输出的时候做了这些东西，那么我们就来自己模拟一个数来进行验证，假如我们想让一个不是 29 的double数字（我们要反推计算出的数字），在格式化输出后打印了 29，那么我们就来开始模拟：

• 首先 29 对应的二进制数为11101，由于最终要打印 29，我们就需要将低 32 位设置为11101并在前面加上27个0，而为了方便，加上double的frac部分共有 52 位，因此我们就将frac部分设置为 11101前面加上 47 个 0；
• 然后由于 29 为正数，因此最高位 s 对应为0，然后我们再计算稍微麻烦些的exp部分；
• 由于frac部分是由 M 的小数部分得到的，而我们这次小数部分已经占用到了frac的最后部分（29在frac的末尾），因此可知 E 对应为 52，所以 exp为 1023 + E = 1023 + 52 = 1075，对应的 11 位二进制位为 1000 0110 011。
• 最终我们得到了 0100 0011 0011 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 1101这个数。

我们可以在Java中通过以下代码得到其对应的浮点数：

public static void main(String[] args) {
    // output: 4.503599627370525E15
	System.out.println(
		Double.longBitsToDouble(0b0100001100110000000000000000000000000000000000000000000000011101L)
	);
}

然后我们可以在 C 代码中来验证这个浮点数如果使用整型格式化输出是不是会得到 29：

#include <stdio.h>

int main () {
    printf("%d", 4.503599627370525E15);
    return 0;
}

通过运行可以发现，我们的确得到了 29：

总结

本文简单介绍了IEEE浮点标准的一些知识，当然深入了解还是需要多查阅资料，比如推荐的CSAPP这本书，除此之外，也可以看到，在日常的编码中，我们还是需要非常注意一些类型转换的，尤其是缩窄变换，我们需要特别注意需不需要进行强制类型转换，例如开篇的代码我们在pow函数前加上int的强制类型转换也可以正常得到 27（但是还是需要特别注意某些情况下可能无法得到预期的结果，毕竟int只有32位，而double有64位）:

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main () {
    int a, b;
    scanf("%d%d", &a, &b);
    printf("%d", (int)pow(a, b));
    return 0;
}

希望本文能够对你有所帮助，激起你看CSAPP这本书的欲望。

参考资料

• 《深入理解计算机系统》

资料链接

链接：https://pan.baidu.com/s/19REaaTdx3SALq9vZBlmjrA
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