1. 问题描述

编写用牛顿迭代法求方程根的函数。

方程为

a

x

2

+

b

x

2

+

c

x

+

d

=

0

ax^2+bx^2+cx+d=0

$a x^{2} + b x^{2} + c x + d = 0$ ，系数a，b，c，d 由主函数输入。

求

x

x

$x$ 在

1

1

$1$ 附近的一个实根。求出根后，由主函数输出。

牛顿迭代法的公式是：

−

f

(

x

0

)

f

′

(

x

0

)

-\frac{f(x_0 )}{f'(x_0)}

$- \frac{f ( x _{0} )}{f ^{'} ( x _{0} )}$ ，设迭代到

∣

x

−

x

0

∣

≤

1

0

−

5

|x-x_0|\leq10^{-5}

$∣ x - x_{0} ∣ \leq 1 0^{- 5}$ 时结束。

2. 题目分析

牛顿迭代法是取

x

0

x_0

$x_{0}$ 之后，在这个基础上，找到比

x

0

x_0

$x_{0}$ 更接近的方程的根，一步一步迭代，从而找到更接近方程根的近似根。

设

r

r

$r$ 是

f

(

x

)

=

0

f(x)=0

$f (x) = 0$ 的根，选取

x

0

x_0

$x_{0}$ 作为

r

r

$r$ 初始近似值。

过点

(

x

0

,

f

(

x

0

)

)

(x_0, f(x_0))

$(x_{0}, f (x_{0}))$ 作为曲线

y

=

f

(

x

)

y=f(x)

$y = f (x)$ 的切线

L

L

$L$ ，

L

L

$L$ 的方程为

y

=

f

(

x

0

)

+

f

′

(

x

0

)

∗

(

x

−

x

0

)

y=f(x_0)+f'(x_0)*(x-x_0)

$y = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) * (x - x_{0})$ ，

求出 L 与 x 轴交点的横坐标

x

1

=

x

0

−

f

(

x

0

)

/

f

′

(

x

0

)

x_1=x_0-f(x_0)/f'(x_0)

$x_{1} = x_{0} - f (x_{0}) / f^{'} (x_{0})$ ，称

x

x

$x$ 为

r

r

$r$ 的一次近似值，

过点

(

x

1

,

f

(

x

1

)

)

(x_1,f(x_1))

$(x_{1}, f (x_{1}))$ 作为曲线

y

=

f

(

x

)

y=f(x)

$y = f (x)$ 的切线，并求该切线与 x 轴的横坐标

x

2

=

x

1

−

f

(

x

1

)

/

f

′

(

x

1

)

x_2=x_1-f(x_1)/f'(x_1)

$x_{2} = x_{1} - f (x_{1}) / f^{'} (x_{1})$ ，称

x

2

x_2

$x_{2}$ 为

r

r

$r$ 的二次近似值，

重复以上过程，得

r

r

$r$ 的近似值

x

n

x_n

$x_{n}$ 。

上述过程即为牛顿迭代法的求解过程。

3. 算法设计

程序流程分析👇

(1) 在

1

1

$1$ 附近找任一实数作为

x

0

x_0

$x_{0}$ 的初值，我们取

1.5

1.5

$1.5$ ，即

x

0

=

1.5

x_0=1.5

$x_{0} = 1.5$

(2) 用初值

x

0

x_0

$x_{0}$ 代入方程中计算此时的

f

(

x

0

)

f(x_0)

$f (x_{0})$ 及

f

′

(

x

0

)

f'(x_0)

$f^{'} (x_{0})$ ；程序中用变量

f

f

$f$ 描述方程的值，用

f

d

fd

$f d$ 描述方程求导之后的值。

(3) 计算增量

h

=

f

/

f

d

h=f/fd

$h = f / f d$ 。

(4) 计算下一个

x

:

x

=

x

0

−

h

x:x=x_0-h

$x : x = x_{0} - h$ 。

(5) 用新产生的

x

x

$x$ 替换原来的

x

o

x_o

$x_{o}$ ，为下一次迭代做好准备。

(6) 若

∣

x

−

x

0

∣

>

=

1

e

−

5

|x-x_0|>=1e-5

$∣ x - x_{0} ∣ > = 1 e - 5$ ，则转到第 (3) 步继续执行，否则转到步骤 (7)。

(7) 所求

x

x

$x$ 就是方程

a

x

3

+

b

x

2

+

c

x

+

d

=

0

ax^3+bx^2+cx+d=0

$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ 的根，将其输出。

本程序的编写既可用 while，也可用 do...while，二者得到的结果是一样的，只是在赋初值时稍有不同。

while 结构需要先判定条件，即先判断

∣

x

−

x

0

∣

>

=

1

e

−

5

|x-x_0|>=1e-5

$∣ x - x_{0} ∣ > = 1 e - 5$ 是否成立，这样对于

x

x

$x$ ，

x

0

x_0

$x_{0}$ 我们要在

1

1

$1$ 附近取两个不同的数值作为初值；

do...while 结构是先执行一次循环体，得到

x

x

$x$ 的新值后再进行判定，这样程序开始只需给

x

x

$x$ 赋初值。

这里我们采用 do...while 结构来实现。

4. 确定程序框架

程序的主体结构如下👇

由于程序中用到了绝对值函数 fabs() ，所以在程序的开始要加上头文件#include <math.h>。

流程图如下所示👇

5. 迭代法求方程根

编写程序时要注意的一点是判定

∣

x

−

x

0

∣

>

=

1

e

−

5

|x-x_0|>=1e-5

$∣ x - x_{0} ∣ > = 1 e - 5$ 。

从牛顿迭代法的原理可以看出：迭代的实质就是越来越接近方程根的精确值，最初给

x

0

x_0

$x_{0}$ 所赋初值与根的精确值是相差很多了，正是因为这个我们才需要不断地进行迭代，也就是程序中循环体的功能。

在经过一番迭代之后所求得的值之间的差别也越来越小，直到求得的某两个值的差的绝对值在某个范围之内时，便可结束迭代。

若我们把判定条件改为

∣

x

−

x

0

∣

<

1

e

−

5

|x-x_0|<1e-5

$∣ x - x_{0} ∣ < 1 e - 5$ ，则第一次的判断结果必为假，这样就不能进入循环体再次执行。

定义 solution()函数求方程的根。solution()函数的代码如下👇

6. 代码实现

完整代码📝

#include <stdio.h>
#include <math.h>

float solution(float a, float b, float c, float d)
{
	float x0, f, fd, h; 
	float x = 1.5;

	do
	{
		x0 = x; 

		f = a * x0 * x0 * x0 + b * x0 * x0 + c * x0 + d;

		fd = 3 * a * x0 * x0 + 2 * b * x0 + c;

		h = f / fd;

		x = x0 - h; 

	} while (fabs(x-x0) >= 1e-5);

	return x;
}

int main()
{
	float a, b, c, d; 

	float x; 
	
	printf("请输入方程的系数：");
	
	scanf("%f %f %f %f", &a, &b, &c, &d);
	
	x = solution(a, b, c, d);
	
	printf("\n");
	
	printf("所求方程的根为：x=%f\n", x);

	return 0;
}