🌟 前言
Wassup guys，我是你们的机哥😎 （好几个朋友发私信都叫我机哥）
今天是C语言每日一练，第90天！
Let’s get it！
文章目录
1. 基础问题
🍑 题目描述
一只青蛙一次可以跳上 1 级台阶，也可以跳上 2 级。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。
诺，就像下面这样👇
🍑 解题思路
其实我一看到这道题，我也是懵的🤔，不知道从哪里着手分析，那我们就从最简单的情况开始分析。
假如
n = 1，一共有一级台阶，显然就只有一种跳法
一次跳1阶；👇
假如n = 2，一共有两级台阶，共有两种跳法
跳1阶，再跳1阶👇
跳2阶👇
假设n = 3，共有三种跳法。
跳1阶，跳1阶，再跳1阶👇
跳1阶，再跳2阶👇
跳2阶, 再跳1阶👇
（注：此过程图是我从网上找的，实在是难得画啦😂）
通过上面的分析，我们可以这样思考问题🤔
前往楼梯顶部的最后一步，要么跳1阶，要么跳2阶；
先假设f
(
n
)
f(n)
f(n)为 n 级台阶的总跳法数；
那么第一次如果选择跳一级的话，剩下的 n-1 级台阶的跳法数就为f
(
n
−
1
)
f(n-1)
f(n−1)。
如果第一次跳两级的话，剩下的 n-2 级台阶的跳法就是f
(
n
−
2
)
f(n-2)
f(n−2)；
现在青蛙一次只能跳一级或两级，所以我们可以推出以下公式：
咦，这玩意儿不就是我们 斐波那契数 吗？🤔
只不过有一点不同的是，斐波那契数列一般是以1,1,2,3,5,8,13……开始的；
而我们这是以1,2,3,5,8,13……开始的，少了最前面的一个1。
🍑 代码实现
上面说到这个过程有点类似于斐波那契数，但又不完全是，所以我们先看主代码部分👇
#include <stdio.h>
int jump(int n)
{
if (n < 3)
{
//假设n的范围是[0, 3]
return n;
}
else
{
//n>3的时候
return jump(n - 1) + jump(n - 2);
}
}
int main()
{
int num = 0;
printf("请输入一个台阶数:> ");
scanf("%d", &num);
int ret = jump(num);
printf("小青蛙有 %d种 跳法\n", ret);
return 0;
}
运行结果👇
但是，我们来看一下计算的过程👇
要计算f
(
6
)
f(6)
f(6)，就需要先计算出子问题
f
(
5
)
f(5)
f(5) 和
f
(
4
)
f(4)
f(4)
然后要计算f
(
5
)
f(5)
f(5)，又要先算出子问题
f
(
4
)
f(4)
f(4) 和
f
(
3
)
f(3)
f(3)，以此类推。
一直到f
(
2
)
f(2)
f(2) 和
f
(
1
)
f(1)
f(1)，递归树才终止。
因此，青蛙跳阶，递归解法的时间复杂度 等于O
(
1
)
∗
O
(
2
n
)
=
O
(
2
n
)
O(1) * O(2^n) = O(2^n)
O(1)∗O(2n)=O(2n)
你仔细观察这颗递归树，你会发现存在「大量重复计算」；
比如f
(
4
)
f(4)
f(4)被计算了两次，
f
(
3
)
f(3)
f(3)被重复计算了3次…所以这个递归算法低效的原因，就是存在大量的重复计算！
所以我们可以对代码进行优化
🍅 递归升级
在递归法的基础上，新建一个长度为
n
n
n 的数组，用于在递归时存储
f
(
0
)
f(0)
f(0) 至
f
(
n
)
f(n)
f(n) 的数字值，重复遇到某数字时则直接从数组取用，避免了重复的递归计算。
所以我们设置一个数组，用于存放第一次计算某一个n
n
n的
jump(n)。
当每一次要计算一个jump(n)的时候，就先查看数组中以n
n
n 为下标的地方是否有值，有的话就可以不调用
jump(n)，而直接从数组中取得结果值，否则再计算jump(n)。
📝代码实现
#include <stdio.h>
long int f[1000]={0};
int jump(int n){
//当只有一阶台阶的时候，只有一种上台阶的方式。
//当有2阶台阶的时候，有2种上台阶的方式，一种是一次上一阶，还有一种是一次上2个台阶。
//现在设有n阶台阶,如果n>2,那种应该有（先跳一阶）+（先跳2阶）的方式
//如果先跳一阶，那么就有jump(n-1)中方式。如果先跳2阶，那么就有jump(n-2)中方式。
//因此可以知道共有jump(n-1) + jump(n-2)种方式。
if(n==1)
{
f[1]=1;
return f[1];
}
if(n==0)
{
f[0]=1;
return f[0];
}
if(n==2)
{
f[2]=2;
return f[2];
}
else
{
if(f[n-1]!=0)
{
if(f[n-2]!=0)
{
return (f[n-1]+f[n-2]);
}
else
{
f[n-2]=jump(n-2);
return (f[n-1]+f[n-2]);
}
}
else
{
if(f[n-2]!=0)
{
f[n-1]=jump(n-1);
return (f[n-1]+f[n-2]);
}
else
{
f[n-1]=jump(n-1);
f[n-2]=jump(n-2);
return (f[n-1]+f[n-2]);
}
}
}
}
int main()
{
int num = 0;
printf("请输入一个台阶数:> ");
scanf("%d", &num);
int ret = jump(num);
printf("小青蛙有 %d种 跳法\n", ret);
return 0;
}
运行结果👇
🍅 动态规划解法
很快我又发现，不必把所有的记录都记起来；
假设我有3阶楼梯，我只需要知道跳2阶和跳1阶的方法数是多少就可以算出跳3阶的方法数；
因此每次只需要保留n
−
1
n-1
n−1阶 和
n
−
2
n-2
n−2阶 的方法数。
📝代码实现
#include <stdio.h>
int jump(int n)
{
//n=0、1、2的时候,直接返回n即可
if (n < 3)
{
return n;
}
//第一个数为1
int one = 1;
//第二个数为2
int two = 2;
//用于存放前两个数之和
int sum = 0;
while (n > 2)
{
sum = one + two;
one = two;
two = sum;
n--;
}
return sum;
}
int main()
{
int num = 0;
printf("请输入一个台阶数:> ");
scanf("%d", &num);
int ret = jump(num);
printf("小青蛙有 %d种 跳法\n", ret);
return 0;
}
运行结果👇
2. 问题升级
🍑 题目描述
一只青蛙一次可以跳上一级台阶，也可以跳上二级台阶……，也可以跳n级，求该青蛙跳上一个n级的台阶总共需要多少种跳法。
🍑 解题思路
一只青蛙要想跳到n级台阶，可以从一级，二级……，也就是说可以从任何一级跳到n级👇
当台阶为1级时，f
(
1
)
=
1
f(1)=1
f(1)=1；
当台阶为2级时，f
(
2
)
=
1
+
1
=
2
f(2)=1+1=2
f(2)=1+1=2；
当台阶为3级时，f
(
3
)
=
f
(
1
)
+
f
(
2
)
+
1
=
4
f(3)=f(1)+f(2)+1=4
f(3)=f(1)+f(2)+1=4；
当台阶为4级时，f
(
4
)
=
f
(
1
)
+
f
(
2
)
+
f
(
3
)
+
1
=
8
f(4)=f(1)+f(2)+f(3)+1=8
f(4)=f(1)+f(2)+f(3)+1=8；
当台阶为5级时，f
(
5
)
=
f
(
1
)
+
f
(
2
)
+
f
(
3
)
+
f
(
4
)
+
1
=
16
f(5)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+1=16
f(5)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+1=16；
所以递推公式我们很容易就能想到：f
(
n
)
=
f
(
n
−
1
)
+
f
(
n
−
2
)
+
…
…
+
f
(
2
)
+
f
(
1
)
+
f
(
0
)
f(n)=f(n-1)+f(n-2)+……+f(2)+f(1)+f(0)
f(n)=f(n−1)+f(n−2)+……+f(2)+f(1)+f(0)
最后这个f
(
0
)
f(0)
f(0)是可以去掉的，因为0级就相当于没跳，所以
f
(
0
)
=
0
f(0)=0
f(0)=0
然后我们把f
(
0
)
f(0)
f(0)去掉再转换一下：
f
(
n
−
1
)
=
f
(
n
−
2
)
+
f
(
n
−
3
)
+
…
…
+
f
(
2
)
+
f
(
1
)
f(n-1)=f(n-2)+f(n-3)+……+f(2)+f(1)
f(n−1)=f(n−2)+f(n−3)+……+f(2)+f(1)；
推导过程👇
我们列两个等式：
①f
(
n
)
=
f
(
n
−
1
)
+
f
(
n
−
2
)
+
f
(
n
−
3
)
+
…
+
f
(
2
)
+
f
(
1
)
f(n) = f(n-1) + f(n-2) +f(n-3) + … + f(2) + f(1)
f(n)=f(n−1)+f(n−2)+f(n−3)+…+f(2)+f(1)
②f
(
n
−
1
)
=
f
(
n
−
2
)
+
f
(
n
−
3
)
+
…
+
f
(
2
)
+
f
(
1
)
f(n-1) = f(n-2) +f(n-3) + … + f(2) + f(1)
f(n−1)=f(n−2)+f(n−3)+…+f(2)+f(1)
由①-②得，f
(
n
)
=
2
f
(
n
−
1
)
f(n) = 2f(n-1)
f(n)=2f(n−1)
🍑 代码实现
🍅 递归方法
📝代码示例
int jump(int n)
{
if (n == 1)
{
return 1;
}
else
{
return 2 * jump(n - 1);
}
}
int main()
{
int num = 0;
printf("请输入一个台阶数:> ");
scanf("%d", &num);
int ret = jump(num);
printf("小青蛙有 %d种 跳法\n", ret);
return 0;
}
运行结果👇
🍅 非递归方法
当然这里也可以用非递归的方式来实现
那么非递归怎么去思考呢？
可以这样理解：
f
(
1
)
=
1
=
2
0
f(1) = 1 = 2^0
f(1)=1=20
f
(
2
)
=
1
+
f
(
1
)
=
2
=
2
1
f(2) = 1 + f(1) = 2 =2^1
f(2)=1+f(1)=2=21
f
(
3
)
=
1
+
f
(
2
)
+
f
(
1
)
=
4
=
2
2
f(3) = 1 + f(2) + f(1) =4 = 2^2
f(3)=1+f(2)+f(1)=4=22
f
(
4
)
=
1
+
f
(
3
)
+
f
(
2
)
+
f
(
1
)
=
8
=
2
3
f(4) = 1 + f(3) + f(2) + f(1) = 8 =2^3
f(4)=1+f(3)+f(2)+f(1)=8=23
…
f
(
n
)
=
2
(
n
−
1
)
f(n)=2^{(n-1)}
f(n)=2(n−1)；
然后使用用函数pow(2，n -1)，需要加头文件<math.h>
但是我们这里可以不用库函数来实现，给大家介绍一种神奇的运算
📝代码示例
int jump(int n)
{
if (n == 1)
{
return 1;
}
else
{
return 1 << (n-1);
}
}
int main()
{
int num = 0;
printf("请输入一个台阶数:> ");
scanf("%d", &num);
int ret = jump(num);
printf("小青蛙有 %d种 跳法\n", ret);
return 0;
}
运行结果👇
我这里选择用<<左移操作符来计算
3. 特性总结
其实这道算法题的本质可以说就是斐波那契数的衍生；
反言之，对于算法，我的理解：算法本质就是数学的解题过程
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