文章目录
1. 基本概率
- 插值与拟合的作用：根据客观存在的函数f(x)的 n+1 个样本点，构造一个函数P(x)作为f(x)的近似函数。
- 插值函数定义：若找到一个函数P(x)代入到所有样本点都成立，称 P(x)是f(x)的一个插值函数。
- 拟合函数定义：若找到一个合适的函数φ(x)，然后使得其与 n+1 个样本点的残差范数最小，称 φ(x)是f(x)的一个拟合函数。(一般只会代入部分样本点成立)
2. 代数插值
- 代数插值的一个定理：如果n+1个插值节点互异，则唯一存在满足插值条件的n次插值多项式。
接下来介绍几种代数插值的方法。
2.1 Lagrange插值(拉格朗日插值)
-
Lagrange插值：多项式P(x)每一项的系数已知，每一项的插值基函数待定。
-
插值基函数：多项式P(x)中每一项的待定函数。
- 公式：
- 性质：有几个插值节点(即有几个样本)就有几个基函数
求基函数例题：
- 作用：因为代数插值函数P(x)每一项的系数已知，所以求出插值基函数就可以得到代数插值函数P(x)
- 公式：
-
插值余项：f(x)与代数插值函数P(x)的差值
- 公式：
- 作用：由插值余项可以计算产生的误差
- 公式：
-
最终得到f(x)、插值函数P(x)、插值余项之间的具体表达式：
-
例题：
- 求数的近似值
- 求取点个数
- 求数的近似值
2.2 Newton插值(牛顿插值)
-
Newton插值：多项式P(x)每一项的基函数已知，每一项的系数待定。
-
差商：
-
公式：
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构造差商表去计算差商：
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作用：因为代数插值函数P(x)每一项的基函数已知，所以求出系数就可以得到代数插值函数P(x)。(Newton插值中的插值系数是差商)
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插值余项：f(x)与代数插值函数P(x)的差值
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公式：
-
作用：由插值余项可以计算产生的误差
-
-
最终得到f(x)、插值函数P(x)、插值余项之间的具体表达式：
-
例题：
2.3 Hermite插值
不考
2.4 分段插值
不考
2.5 样条插值
不考
3. 曲线拟合
3.1 离散
3.1.1 曲线拟合过程
- 第一步：找到
m + 1个函数，然后使用这m + 1个函数的线性组合φ(x)去拟合实际函数f(x)
由于每一项的基函数 φi 是已知的，每一项的系数 ai 是未知的。所以接下来求系数 ai
- 第二步：构造对应的法方程组，求解系数 ai
其中 m+1 是函数个数，n + 1 是样本个数。
原理如下：
3.1.2 误差
前面提到过，就是残差加权之和：
3.1.3 例子
注意：计算内积(φ0，φ0)如果题目没有给出权重，则默认为1
-
m次多项式曲线去拟合：
-
指数曲线拟合
-
分式曲线拟合
3.2 连续
内积变为了积分：
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