动态规划—买卖股票的最佳时机（LeetCode 121）

文章目录

1.问题描述：

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i天的价格。如果你最多只允许完成一笔交易（即买入和卖出一支股票），设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。

注意：你不能在买入股票前卖出股票。
实例1：

输入: [7,1,5,3,6,4]
输出: 5
解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
注意：利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格。

实例2：

输入: [7,6,4,3,1]
输出: 0
解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

2.解题思路：

（1）定义数组元素的含义
按照题目所问的，设 dp[i] 的含义为：从nums[0]到nums[i]中获得的最大利润。

（2）求状态转换方程

上图是用蛮力法列出前4个状态的各个可能解。

通过上图我们得到了，状态转换方程：dp[i] = max(dp[i-1], nums[i]-nums[i-1], nums[i]-nums[i-2]...nums[i]-nums[0])
按照这个状态转换方程推后面的状态没有错。推的过程我就不写了。

（3）初始值：
状态1不符合该状态转换方程，状态2符合。所以，初始值为dp[0] = 0
`
（4）代码如下：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        // dp[i]为从元素0-i，最小的数
        int m = prices.length;
        if (m <= 0)
            return 0;
        int[] dp = new int[m];
        //设置初始值
        dp[0] = 0;
        //dp[i] = max(dp[i-1], nums[i]-nums[i-1], nums[i]-nums[i-2]...nums[i]-nums[0])
        for (int i = 1; i < m; i++) {
        	// 求nums[i]-nums[i-1], nums[i]-nums[i-2]...nums[i]-nums[0]中最大值，记为max
            int max = Integer.MIN_VALUE;
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                int temp = prices[i] - prices[j];
                if (temp > max)
                    max = temp;
            }
            //求 dp[i-1] 和 max中的最大值
            dp[i] = Math.max(dp[i-1], max);
        }
        return dp[m-1];
    }
}

3.时间优化：

不知道，你们发现没有，上面的状态转换方程会随着状态的增加而增加。这显然不是很合理状态转换方程，一个最优化的状态转换方程，至少状态转换方程不会随着状态的改变而（改变）变长。那么能不能进行优化呢？？？

这就需要我们对问题进行等价转换。利润 = 卖出 - 买入，我们只需要记录之前状态的最小值，用当前值nums[i]减去前面的最小值买入值，得到今天售出的最大利润，如果该利润大于前面状态售出的利润，那么他就是当前的最大利润。
（1）定义数组元素的含义
设 dp[i] 的含义为：从nums[0]到nums[i]中最小的买入值。

（2）求状态转换方程

上图是用蛮力法列出前4个状态的各个可能解。

通过上图我们得到了，状态转换方程：dp[i] = min(dp[i-1], nums[i])

（3）初始值：
状态1不符合该状态转换方程，状态2符合。所以，初始值为dp[0] = 0

（4）代码如下：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int m = prices.length;
        if (m <= 0)
            return 0;
        int[] dp = new int[m];
        int max = 0;       //题目要求不能盈利返回0，所以这里初值设置0而不是Integer.MIN_VALUE
        int temp = 0;
        //设置初始值
        dp[0] = prices[0];
        // dp[i] = min(dp[i-1], prices[i])
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            dp[i] = Math.min(dp[i-1], prices[i]);
            temp = prices[i] - dp[i];
            if (temp > max)
                max = temp;
        }
        return max;  
    }
}

可以看见时间上优化了不少！

4.空间优化：

一般，dp用数组的大多数都是可以进行空间优化的，我们来看看能不能优化？
dp[i]只与dp[i-1]和prices[i]有关，也就是说，在计算dp[i]的时候，dp[0]、dp[1]到dp[i-2]都不需要，只需要dp[i-1]和prices[i]，而prices[i]已知，那么我们只需要设置一个变量，每次保存一下dp[i-1]

优化后代码如下：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        // dp[i]为从元素0-i，最小的数
        int m = prices.length;
        if (m <= 0)
            return 0;
        //设置初始值
        int dp = prices[0];
        int max = 0;       //题目要求不能盈利返回0，所以这里初值设置0而不是Integer.MIN_VALUE
        int temp = 0;
        // dp[i] = min(dp[i-1], prices[i])
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            dp = Math.min(dp, prices[i]);
            temp = prices[i] - dp;
            if (temp > max)
                max = temp;
        }
        return max;   
    }
}