🐸青蛙跳台阶

问题描述

一只青蛙🐸一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法（先后次序不同算不同的结果）。

问题分析

当n = 1时有1种方法
直接跳1级

当n = 2时，有2种方法
①一次跳1级

②一次跳2级

当n = 3时，有3种方法。
①一次跳1级

②先跳2级，再跳1级

③先跳1级，再跳2级

很快我们发现当🐸跳n级台阶的时候，最后一次要不跳2级，要不就跳1级，那么跳n级的方法数不就是跳 n – 1级的方法数 ➕ 跳n – 2级的方法数吗❓然后这不就是斐波那契数列吗⁉️

n	方法数
0	1
1	1
2	2
3	3
4	5
…	…
n	fib(n – 1) + fib(n – 2)

代码演示

public class TestDemo {
    public static int climbStairs(int n) {
        if (n == 0 || n == 1) {
            return 1;
        }
        return climbStairs(n - 1) + climbStairs(n - 2);
    }
    public static void main(String[] args) {
        int res = climbStairs(5);
        System.out.println("方法数：" + res);
    }
}

运行结果：

算法分析

时间复杂度 O(2ⁿ)，我们发现此算法的时间复杂度特别大，因为会进行大量的重复的计算，我们可以测验一下，当n如果特别大的时候，编译器要运行一段时间才会出结果，刚刚小编测验了一下，当n = 45的时候要运行几秒中才会出结果。
以 n = 5 为例 f(2) f(3) 都被重复计算多次，当然n越大，被重复计算的就会越多。

算法优化

既然上述算法中进行了大量的重复计算，时间复杂度为时间复杂度 O(2ⁿ)，那么我们可以选择把计算过的结果保存下来，在这里考虑结果为方法数，用数组保存

List item

就可以了。
代码如下:

public class TestDemo {
    public static int climbStairs(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        for(int i = 2;i < dp.length;i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        return dp[n];
    }

    public static void main(String[] args) {
        int res = climbStairs(5);
        System.out.println("方法数:" + res);
    }
}