跳台阶“伪斐波拉契数列”以及扩展题型【刷题记录】

一、题目描述

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法（先后次序不同算不同的结果）。

示例1 ：
输入：2 返回值：2

示例2 ：
输入：7 返回值：21

二、解题思路

1、按照题解直接写这道题就好了，当只有1个台阶的时候，只有一种方法
2、当有2个台阶的时候，有2种跳法1）一次跳1个，2）一次跳2个
3、当有n个台阶的时候，它可以从n-1个台阶跳过来，也可以从n-2个台阶跳过来
4、所以n台阶种类= n-1台阶种类+ n-2台阶种类

跳到第n级台阶，上一级可能是n-1，也可能是n-2；假设到第n级最大的可能为f(n)，那么由前面可以得到f(n)=f(n-1)+f(n-2)；
波拉契数列第0项是0，依此类推：0,1,1,2,3,5,8…；
跳台阶从1开始：1,2,3,5,8…；

–>>青蛙跳台阶问题： f(0)=1 , f(1)=1 , f(2)=2；
–>>斐波那契数列问题： f(0)=0 , f(1)=1 , f(2)=1;
所以，“伪斐波拉契数列”，是正常的斐波拉契数列的第二项开始的，解法自然类似斐波拉契数列。
类似，可以采用动态规划解题【以斐波那契数列性质 f(n + 1) = f(n) + f(n – 1)为转移方程】
1、状态定义：设 dp 为一维数组，其中 dp[i] 的值代表斐波那契数列第 i 个数字。
2、转移方程： dp[i + 1] = dp[i] + dp[i – 1]，即对应数列定义 f(n + 1) = f(n) + f(n – 1) ；
3、初始状态： dp[0] = 1, dp[1] = 1 ，即初始化前两个数字；
4、返回值： dp[n]，即斐波那契数列的第 n 个数字。

三、解题代码
(一)类似斐波拉契数列

class Solution:
    def jumpFloor(self, number):
        # write code here
        if number == 0:
            return 1      ## f(0)=1
        if number == 1:
            return 1     ## f(1)=1
        a = 1
        b = 1
        i = 3
        for i in range(2, number+1):
            sum = a+b
            a = b
            b = sum
        return sum % 1000000007

(二)动态规划法:定义 dp []数组

class Solution:
    def jumpFloor(self, number):
        # write code here
        if number == 1:
            return 1 
        if number == 2: 
            return 2   
        dp = [1 for _ in range(number + 10)]
        for i in range(2,number + 1):
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
        return dp[number] % 1000000007

或者

class Solution:
    def jumpFloor(self, number):
        # write code here
        dp = [1, 1]
        for i in range(2, n + 1):
            dp.append(dp[i - 1] + dp[i - 2])
        return dp[n] % 1000000007

四、跳台阶扩展问题

描述

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶(n为正整数)总共有多少种跳法

示例1
输入：3
返回值：4

2 解题思路

3. 解题代码:

class Solution:
    def jumpFloorII(self, number):
        # write code here
        if number == 0:
            return 1
        if number == 1: 
            return 1
        ans = 1
        for i in range(1, number):
            ans = 2*ans
        return ans