🚩 前言
本节以较简单的例子来理解矩阵乘法下的反向传播过程。为了稍微形象一些，这里同样会用到计算图来进行描述。
矩阵乘法下的反向传播，其实和标量计算下的反向传播区别不大，只是我们的研究对象从标量变成了矩阵。我们需要解决的就是矩阵乘法运算下求梯度的问题，而两个矩阵的乘法又可以分解为许多标量的运算。
1. 求梯度的公式
在矩阵乘法的情况下，设有一个特征矩阵为
X
X
X，一个权值矩阵为
W
W
W，输出：
Y
=
X
W
Y = XW
Y=XW。
如果我们要得到
Y
Y
Y关于
W
W
W的梯度，则可以使用公式：
d
W
=
X
⊤
d
Y
dW=X ^\top dY
dW=X⊤dY
同样的，如果求
Y
Y
Y关于
X
X
X的梯度，则可以使用公式：
d
X
=
d
Y
W
⊤
dX=dYW^\top
dX=dYW⊤
那么，为什么上面的公式确实可以求出我们所需要的梯度呢？
2. “举个栗子”：两个矩阵相乘
我们不妨看看两个简单矩阵相乘的过程，并将目光聚焦到求关于
W
W
W的梯度
求关于
W
W
W的梯度，则我们得到的
d
W
dW
dW的形状应当是与
W
W
W相同的，即每个元素都有一个对应的梯度。我们看和
W
11
W_{11}
W11有关的部分：
y
11
=
X
11
W
11
+
X
12
W
21
y_{11}=X_{11}W_{11}+X_{12}W_{21}
y11=X11W11+X12W21
y
21
=
X
21
W
11
+
X
22
W
21
y_{21}=X_{21}W_{11}+X_{22}W_{21}
y21=X21W11+X22W21
y
31
=
X
31
W
11
+
X
32
W
21
y_{31}=X_{31}W_{11}+X_{32}W_{21}
y31=X31W11+X32W21
不难发现，
W
11
W_{11}
W11的系数有三个，那么
W
11
W_{11}
W11的梯度就是这三个系数的和：
X
11
+
X
21
+
X
31
X_{11}+X_{21}+X_{31}
X11+X21+X31。
- 对应的系数作为梯度很好理解，可为什么是和呢？而不是平均数？又或者其它的？
我现在也没有很明白，求得的梯度为什么是它所有系数的和值，主要是对这个梯度值所代表的意义有些困惑。不过平均数其实没有什么意义，不过是给所有求得的梯度等比缩小了而已。
相应的，
W
W
W第一行的元素，其梯度都是
X
X
X第一列的和；第二行的元素，其梯度都是
X
X
X第二列的和。
于是可以发现，通过公式
d
W
=
X
⊤
d
Y
dW=X ^\top dY
dW=X⊤dY，如果
d
Y
dY
dY的元素值都为1，我们就恰巧能得到上面的结果。
- 在实际的模型中，矩阵乘法的运算只是作为很小的一个部分，
d
Y
dY
dY的值接受自下一层，而非简单的全为1
1
1，因此不必担心出现每一行的权值只能同步更新的问题
3. 从计算图看：误差反向传播
前面我们是从表达式的系数得出的规律，接下来再从计算图来看一下反向传播求梯度的过程。
- 在考虑神经网络中的误差的反向传播时，计算图确实是一个很棒的工具。对于复杂的矩阵乘法运算，我们可以把它分解成许多简单的加法和乘法运算来考虑。
求W11有关的部分计算图——正向推理
误差反向传播
这里我们得到：
d
W
11
=
X
11
d
y
11
+
X
21
d
y
21
+
X
31
d
y
31
dW_{11}=X_{11}dy_{11}+X_{21}dy_{21}+X_{31}dy_{31}
dW11=X11dy11+X21dy21+X31dy31
这里只画出了举例子所需要的小部分计算图，将一个矩阵乘法运算完整地用计算图呈现出来，会显得比较错综复杂，也比较麻烦。但使用部分计算图来以点带面、帮助理解还是非常不错的。
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