最后的这几讲很多是介绍一些概念以及应用和复习总结，所以简单记录下一下，不再详细展开。
主要内容有：
- 马尔可夫矩阵以及傅里叶级数的概念
- 实对称矩阵以及正定矩阵的介绍
- 相似矩阵的概念
- 正定矩阵的概念
马尔可夫矩阵
马尔可夫矩阵（Markov Matrix） ：
- 首先是一个
n
n
n 阶的方阵（其实在之后的几讲中，讨论的都是方阵）
- 方阵中的每个元素都非负
- 每一列元素的和都等于1
马尔可夫矩阵有两条重要的性质：
- 一定有有特征值等于1
- 其余的所有的特征值的绝对值都小于1
傅里叶级数
对于一个
n
n
n 维的向量
v
v
v ，如果有一组此空间的标准正交基
(
q
1
,
q
2
,
.
.
.
q
n
)
(q_{1}, q_{2},…q_{n})
(q1,q2,...qn)，则这个向量对于这组基的投影可以表示为：
v
=
x
1
q
1
+
x
2
q
2
+
.
.
.
+
x
n
q
n
v = x_{1}q_{1} + x_{2}q_{2}+…+x_{n}q_{n}
v=x1q1+x2q2+...+xnqn
那么，可欧律一个问题，如果要求的其中某一个分量上的分解量，比如求
x
i
x_{i}
xi， 那么可以将上面的式子左右同时乘以
q
i
T
q_{i}^{T}
qiT，从而得到：
q
i
T
v
=
x
1
q
i
T
q
1
+
x
2
q
i
T
q
2
+
.
.
.
+
x
i
q
i
T
q
i
+
.
.
.
+
x
n
q
i
T
q
n
=
x
i
q_{i}^{T} v= x_{1}q_{i}^{T}q_{1} + x_{2}q_{i}^{T}q_{2} + …+ x_{i}q_{i}^{T}q_{i} +…+x_{n}q_{i}^{T}q_{n} = x_{i}
qiTv=x1qiTq1+x2qiTq2+...+xiqiTqi+...+xnqiTqn=xi
,如果使用
Q
=
(
q
1
,
q
2
,
.
.
.
q
n
)
Q=(q_{1}, q_{2},…q_{n})
Q=(q1,q2,...qn)，则
Q
Q
Q是一个正交阵，则
(
x
1
,
x
2
,
.
.
,
x
n
)
T
=
Q
−
1
v
(x_{1}, x_{2},..,x_{n})^{T} = Q^{-1}v
(x1,x2,..,xn)T=Q−1v。
有了这个方法，再来看傅里叶级数，它的函数表示为：
f
(
x
)
=
a
0
+
a
1
c
o
s
(
x
)
+
b
1
s
i
n
(
x
)
+
a
2
c
o
s
(
2
x
)
+
b
2
s
i
n
(
2
x
)
+
.
.
.
.
f(x) = a_{0} + a_{1}cos(x) + b_{1}sin(x)+a_{2}cos(2x) + b_{2}sin(2x)+….
f(x)=a0+a1cos(x)+b1sin(x)+a2cos(2x)+b2sin(2x)+....
这里可以把每一项看作是空间的一个元素设两个函数的内积为：
∫
0
2
π
f
(
x
)
g
(
x
)
d
(
x
)
\int_{0 }^{2\pi}f(x)g(x)d(x)
∫02πf(x)g(x)d(x)
，可以得到，傅里叶级数中的每两项都是相互正交的，例如：
∫
0
2
π
s
i
n
(
x
)
c
o
s
(
x
)
d
(
x
)
=
0
\int_{0}^{2\pi}sin(x)cos(x)d(x) = 0
∫02πsin(x)cos(x)d(x)=0
，这里的处理跟上面的很相似，所以给我们的启发就是，如果我们要求傅里叶级数的某一项系数,a_{i},b_{i}，可以将函数进行投影，例如，求a_{1}:
∫
0
2
π
c
o
s
(
x
)
f
(
x
)
d
(
x
)
=
a
0
∫
0
2
π
c
o
s
(
x
)
d
x
+
a
1
∫
0
2
π
c
o
s
(
x
)
2
d
x
+
b
1
∫
0
2
π
c
o
s
(
x
)
s
i
n
(
x
)
d
x
+
.
.
.
.
\int_{0}^{2\pi}cos(x)f(x)d(x) = a_{0}\int_{0}^{2\pi}cos(x)dx+a_{1}\int_{0}^{2\pi}cos(x)^{2}dx+b_{1}\int_{0}^{2\pi}cos(x)sin(x)dx+….
∫02πcos(x)f(x)d(x)=a0∫02πcos(x)dx+a1∫02πcos(x)2dx+b1∫02πcos(x)sin(x)dx+....
可以得到：
a
1
=
1
π
∫
0
2
π
c
o
s
(
x
)
f
(
x
)
d
(
x
)
a_{1} = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}cos(x)f(x)d(x)
a1=π1∫02πcos(x)f(x)d(x)
实对称矩阵
对称矩阵有很多优秀的性质，所以接下来的很多概念都跟对称矩阵有关系，实对称矩阵是所有的元素都是实数的矩阵，它的主要性质如下：
- 所有的特征值都是实数
- 所有的特征向量都是实向量
- 具有
n
n
n 个线性无关的特征向量
- 所以，任意的实对称矩阵都可以表示为
Q
Λ
Q
−
1
=
Q
Λ
Q
T
Q\Lambda Q^{-1} = Q\Lambda Q^{T}
QΛQ−1=QΛQT的形式
正定矩阵
正定矩阵式特殊的实对称矩阵，其所有的的特征值都大于0，对应的二次型
x
T
A
x
x^{T}Ax
xTAx 恒大于0，判断实对称矩阵是否式正定矩阵的方法：
- 定义判断，是否所有的特征值都大于0
- 从左上角开始
0
−
n
0 – n
0−n阶的子行列式都大于0
相似矩阵
对于两个方阵
A
,
B
A,B
A,B， 如果存在可逆矩阵
P
P
P，使得：
P
−
1
A
P
=
B
P^{-1}AP=B
P−1AP=B，则称
B
B
B 是
A
A
A的相似矩阵，相似矩阵具有如下的性质：
- 相似矩阵具有相同的特征值
- 如果矩阵
A
A
A与对角阵相似，则对角阵中的对角线值也就是
A
A
A 的
n
n
n 个特征值，这里也就是之前讲到过的对角化的知识。
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