从这一讲开始新的章节。这一讲主要是一些基础概念性质，所以比较简单。
本讲的主要内容：
- 行列式的概念
- 行列式的重要性质
行列式的概念以及基本的三个性质
行列式是由方阵
A
A
A 确定的一个标量，记作
d
e
t
a
det \enspace a
deta 或者
∣
A
∣
|A|
∣A∣， 可以看作是面积或者体积向高维空间的拓展。这里要注意的概念是我们一般意义上的考虑都是考虑方阵的行列式
行列式的三个基本性质：
- 1
d
e
t
I
=
1
det \enspace I = 1
detI=1 也就是单位矩阵的行列式值等于1（其实是对角线的数值的乘积）
- 2 交换矩阵的两行，行列式的值会改变符号，所以由这个性质可以得出，任意的一个置换矩阵，它的行列式值是0或者1
- 3.1关于提取行列式中某一行的公因数的操作：
∣
t
a
t
b
c
d
∣
=
t
∣
a
b
c
d
∣
\begin{vmatrix} ta & tb\\ c & d \end{vmatrix}= t\begin{vmatrix} a &b \\ c &d \end{vmatrix}
∣∣∣∣tactbd∣∣∣∣=t∣∣∣∣acbd∣∣∣∣
- 3.2 关于拆分行列式：
∣
a
+
a
′
b
+
b
′
c
d
∣
=
∣
a
b
c
d
∣
+
∣
a
′
b
′
c
d
∣
\begin{vmatrix} a+ a{}' & b+b{}'\\ c & d \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a &b \\ c &d \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a{}' &b{}' \\ c & d \end{vmatrix}
∣∣∣∣a+a′cb+b′d∣∣∣∣=∣∣∣∣acbd∣∣∣∣+∣∣∣∣a′cb′d∣∣∣∣
上面的三个性质作为行列式的最重要的三个性质，后边的结论都可以有这三条推出。
重要推论
- 如果方阵的某两行一样，则行列式值为0，可以使用性质2推出
- 将某一行的乘以某个数加到另一行上，行列式的值不会变，比如：
∣
a
b
c
−
l
a
d
−
l
b
∣
=
∣
a
b
c
d
∣
+
∣
a
b
−
l
a
−
l
b
∣
=
∣
a
b
c
d
∣
\begin{vmatrix} a &b \\ c-la &d-lb \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a &b \\ -la & -lb \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}
∣∣∣∣ac−labd−lb∣∣∣∣=∣∣∣∣acbd∣∣∣∣+∣∣∣∣a−lab−lb∣∣∣∣=∣∣∣∣acbd∣∣∣∣
- 如果方阵中有某一行全为0，则行列式的值为0
- 关于上三角矩阵的行列式：
U
=
∣
d
1
∗
∗
∗
0
d
2
∗
∗
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
0
d
n
∣
⇒
d
e
t
U
=
d
1
d
2
.
.
.
d
n
U=\begin{vmatrix} d_{1} & * & * & *\\ 0 & d_{2} & * & *\\ … & … & … &… \\ 0 & 0 & 0 & d_{n} \end{vmatrix}\Rightarrow det U = d_{1}d_{2}…d_{n}
U=∣∣∣∣∣∣∣∣d10...0∗d2...0∗∗...0∗∗...dn∣∣∣∣∣∣∣∣⇒detU=d1d2...dn 这里可以继续进行消元直到化简为和行最简形，这一条也是我们计算行列式的重要方法，实际上，在很多计算软件中，都是先进性消元过程将矩阵转化为上三角矩阵，然后再进行计算。
- 如果行列式的值为0，则矩阵是奇异矩阵，也就是矩阵没有逆。
d
e
t
A
B
=
(
d
e
t
A
)
(
d
e
t
B
)
det \enspace AB =(det\enspace A )(det \enspace B)
detAB=(detA)(detB)
d
e
t
A
−
1
=
1
d
e
t
A
det A^{-1} = \frac{1}{detA}
detA−1=detA1 、
d
e
t
A
2
=
(
d
e
t
A
)
2
detA^{2} = (detA)^{2}
detA2=(detA)2
d
e
t
2
A
=
2
n
d
e
t
A
det 2A = 2^{n}detA
det2A=2ndetA 这三条都可以通过矩阵乘积的行列式分解得出
d
e
t
A
T
=
d
e
t
A
det A^{T} = det A
detAT=detA 这一条结论可以先将方阵进行LU分解，那么得到的是矩阵等于下三角矩阵乘上三角矩阵的形式，在这种形式下，行列式的值会比较好计算，结论就会很明显。
这一讲的这些性质会在之后的计算中用到。
以上~
版权声明：本文内容由互联网用户自发贡献，该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌侵权/违法违规的内容， 请发送邮件至 举报，一经查实，本站将立刻删除。
文章由极客之音整理，本文链接：https://www.bmabk.com/index.php/post/116736.html
