第十三讲是第一部分（主要是线性代数的基础知识，四个子空间的关系）的复习课，所以没有做记录
本讲的主要内容：
- 向量正交的定义以及证明方法
- 子空间正交的概念以及关于行空间、零空间的一些结论
向量正交
两个向量正交的概念很直观，就是：两个向量的夹角为90°
在线性代数中，上述定义可以表述为：
对于向量
x
x
x 和
y
y
y ，
x
T
y
=
0
x^{T}y = 0
xTy=0
对于上式的证明，我们可以通过勾股定理来理解，这里要用到一个范式的概念，其实简单理解就是向量的长度：公式如下：
∥
x
∥
2
+
∥
y
∥
2
=
∥
x
+
y
∥
2
\left \| x \right \|^{2} + \left \| y \right \|^{2} = \left \| x+y \right \|^{2}
∥x∥2+∥y∥2=∥x+y∥2
∥
x
∥
2
=
x
T
x
\left \| x \right \| ^{2} = x^{T}x
∥x∥2=xTx
可以理解为勾股定理中两直角边平方之和等于斜边平方，接下来将第二个式子代入第一个式子，化简过程如下：
x
T
x
+
y
T
y
=
(
x
+
y
)
T
(
x
+
y
)
=
x
T
x
+
x
T
y
+
y
T
x
+
y
T
y
x^{T}x + y^{T}y = (x+y)^{T}(x+y) = x^{T}x+x^{T}y + y^{T}x + y^{T}y
xTx+yTy=(x+y)T(x+y)=xTx+xTy+yTx+yTy
其中
x
T
y
x^{T}y
xTy 和
y
T
x
y^{T}x
yTx 相等，所以最终得证。
此外，根据向量正交的概念，零向量与所有的向量均正交
子空间正交
接下来将正交的概念推广到空间，两个空间
S
S
S 、
T
T
T 正交，表示：
任意
S
S
S 中的向量均与任意
T
T
T 中的向量正交
所以，不要理解为类似两个平面垂直是正交之类的。。
下面回到线性方程组，讨论行空间以及零空间是否正交？答案是 是的，将
A
x
=
0
Ax=0
Ax=0 展开（以3个方程为例）：
(
r
o
w
1
r
o
w
2
r
o
w
3
)
(
x
1
x
2
x
3
)
=
(
0
0
0
)
\begin{pmatrix} row1\\ row2\\ row3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}
⎝⎛row1row2row3⎠⎞⎝⎛x1x2x3⎠⎞=⎝⎛000⎠⎞
分析上式，可以得知：
r
o
w
1
x
=
0
row1x=0
row1x=0 等等，符合向量正交的条件，以此类推，所有的行空间的向量都与零空间的向量正交，所以结论正确（上面的式子可以多个相加没有问题，所以行向量的线性组合也符合正交）
对于类似行空间与零空间的一对空间，称为正交互补空间（complements）
如何“解”无解的方程Ax=b
这个地方的解是指在一些情况下，会因为一些值的影响使得方程组无解，这时候我们就需要对方程进行一些处理，这个操作就是将矩阵
A
A
A 变为
A
T
A
A^{T}A
ATA，之前提到过这个矩阵，我们了解到这个矩阵是一个方阵，并且对称，这时候
A
x
=
b
Ax=b
Ax=b 也就变为
A
T
A
x
=
A
T
b
A^{T}Ax = A^{T}b
ATAx=ATb.
关于这个新的矩阵，有一下结论：
-
r
a
n
k
(
A
T
A
)
=
r
a
n
k
(
A
)
rank(A^{T}A) = rank(A)
rank(ATA)=rank(A)
N
(
A
T
A
)
=
N
(
A
)
N(A^{T}A) = N(A)
N(ATA)=N(A)
A
T
A
A^{T}A
ATA 只有在
N
(
A
)
N(A)
N(A) 只有零空间的时候才可逆
上述结论在之后的学习中会具体证明
以上~
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