本讲的主要内容：
- 四种子空间的概念以及维数、基
四种基本子空间
首先了解四种基本子空间是什么：
- 列空间（column space），简记为
C
(
A
)
C(A)
C(A)， 由矩阵的列向量生成的空间
- 零空间（null space），简记为
N
(
A
)
N(A)
N(A)， 方程
A
x
=
0
Ax=0
Ax=0 的解向量生成的空间
- 行空间（row space），简记为
C
(
A
T
)
C(A^{T})
C(AT)（注意这里的是矩阵的转置），矩阵的行向量生成的空间
- 左零空间（the null space of
A
T
A^{T}
AT），简记为
N
(
A
T
)
N(A^{T})
N(AT)，也就是矩阵转置之后的零空间
接下来讨论这四种子空间所属的空间：
对于一个矩阵
A
A
A（
m
×
n
m\times n
m×n）时，结论如下：
-
N
(
A
)
N(A)
N(A)属于
R
n
\mathbb{R}^{n}
Rn
C
(
A
)
C(A)
C(A) 属于
R
m
\mathbb{R}^{m}
Rm
C
(
A
T
)
C(A^{T})
C(AT)属于
R
n
\mathbb{R}^{n}
Rn
N
(
A
T
)
N(A^{T})
N(AT)属于
R
m
\mathbb{R}^{m}
Rm
这里注意属于的意思也就是这些空间均是后面空间的子空间。
接下来讨论这几种子空间的维数：
首先来看
C
(
A
)
C(A)
C(A) 和
N
(
A
)
N(A)
N(A) 列空间和行空间在之前已经进行过讨论，这两个空间的维数的和是矩阵的列空间的数目，也就是
n
n
n:
-
d
i
m
C
(
A
)
=
r
dim \space C(A) = r
dim C(A)=r
d
i
m
N
(
A
)
=
n
−
r
dim \space N(A) = n-r
dim N(A)=n−r
而对与另两个，也就是相当于将矩阵转置之后再进行考虑，因为矩阵的转置不改变矩阵的秩，所以结论如下：
-
d
i
m
C
(
A
T
)
=
r
dim \enspace C(A^{T}) = r
dimC(AT)=r
d
i
m
N
(
A
T
)
=
m
−
r
dim \enspace N(A^{T}) = m-r
dimN(AT)=m−r
这里还是要理解清楚空间的维数是什么概念（空间的基所含向量的个数），不要搞混了
总结一下上面的两个结论：
R
n
{
C
(
A
T
)
d
i
m
=
r
N
(
A
)
d
i
m
=
n
−
r
\mathbb{R}^{n} \space \left\{\begin{matrix} C(A^{T}) \enspace dim=r\\ N(A) \enspace dim=n-r \end{matrix}\right.
Rn {C(AT)dim=rN(A)dim=n−r
R
m
{
C
(
A
)
d
i
m
=
r
N
(
A
T
)
d
i
m
=
m
−
r
\mathbb{R}^{m} \space \left\{\begin{matrix} C(A) \enspace dim=r\\ N(A^{T}) \enspace dim=m-r \end{matrix}\right.
Rm {C(A)dim=rN(AT)dim=m−r
注意不要搞混。
这一讲的最后还提到了一个问题，那就是将所有的
3
×
3
3 \times 3
3×3 的矩阵看作向量，由这些 “向量” 生成空间 ，我们可以得到这个空间的一组基为：
(
1
0
0
0
0
0
0
0
0
)
(
0
0
0
0
3
0
0
0
0
)
(
0
0
0
0
0
0
0
0
7
)
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}
⎝⎛100000000⎠⎞⎝⎛000030000⎠⎞⎝⎛000000007⎠⎞
其实就相当于将我们之前的向量拓展为矩阵，将
R
n
\mathbb{R}^{n}
Rn 延申到
R
n
×
n
\mathbb{R}^{n\times n}
Rn×n,接下来的课程里还会具体讲到。
以上~
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