本讲的主要内容：
- 向量的线性相关性
- 向量组生成空间
- 向量空间的基、维数
向量线性相关性(dependence)
概念：
对于一组向量
x
1
,
x
2
,
x
3
.
.
.
x
n
x_{1},x_{2},x_{3}…x_{n}
x1,x2,x3...xn ，如果存在一种组合使得
c
1
x
1
+
c
2
x
2
+
c
3
x
3
,
.
.
.
c
n
x
n
=
0
c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+c_{3}x_{3},…c_{n}x_{n} = 0
c1x1+c2x2+c3x3,...cnxn=0（其中
c
1
c_{1}
c1…
c
n
c_{n}
cn不全为0）则称这些向量是线性相关的。
那么，反之，如果上面的等式只有全零的解，则这些向量是线性无关的。
从上面的定义中，我们可以推导出几个结论：
- 如果向量组中有零向量，则向量组一定是线性相关的。（零向量前面系数是几都不会影响结果）
- 二维平面中任意的三个向量一定是线性相关的，同样，我们可以把这个结论推广到其他维的空间，例如，三维空间中任意的四个向量一定是线性相关的，这个结论使用方程组很好解释，以二维空间为例：三个向量写成矩阵形式也就是 $A(2*3) x = 0 $ 是否存在非零解，显然，之前的结论告诉我们一定是存在非零解的
生成空间（span a space）的概念
概念：
向量组
x
1
,
x
2
,
x
3
.
.
.
x
n
x_{1},x_{2},x_{3}…x_{n}
x1,x2,x3...xn 生成空间指：所有向量的线性组合构成的空间，这里与列空间的概念是一致的。
向量空间的基
基的概念是一组向量，只是对生成空间的这些向量有要求：
- 这些向量线性无关
- 能生成整个空间
那么如何检验一组向量是否是它们生成空间的一组基？
只要吧这些向量构成矩阵，看看是否矩阵可逆就可以了，也就是检查这个矩阵的秩是否等于n就可以了， 其实是检查是否存在自由变量，解释如下：
如果这些向量可以成为生成空间的一组基，则它们构成的矩阵有下式成立：
A
x
=
0
Ax = 0
Ax=0
也就是
x
x
x 只能是零解，才满足线性无关的条件，根据之前几讲的内容，这个齐次方程组只有零解的条件就是没有自由变量，也就是
r
=
n
r=n
r=n 也就是可逆了。
除此之外还有一个结论：
对于一个向量空间，它的基有很多组，这些基有一个规律，就是所含的向量数目是一样的。
空间的维数（dimension）
最后的这一部分结合一个例子说：
对于这个矩阵：
A
=
(
1
2
3
1
1
1
2
1
1
2
3
1
)
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &1 \\ 1& 1 & 2 & 1\\ 1& 2& 3 &1 \end{pmatrix}
A=⎝⎛111212323111⎠⎞
结合之前的消元法，我们可以求得矩阵
A
A
A 的秩为2，那么矩阵
A
A
A 的列空间的维数（dimension）就是2，
接下来考虑对于
A
x
=
0
Ax=0
Ax=0 方程的零空间的维数是多少？，答案是自由变量的个数，即：
n
−
r
n-r
n−r
简记为：
{
d
i
m
C
(
A
)
=
r
d
i
m
N
(
A
)
=
n
−
r
\left\{\begin{matrix} dim \enspace C(A) = r\\ dim \enspace N(A) = n-r \end{matrix}\right.
{dimC(A)=rdimN(A)=n−r
以上~
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