本讲的主要内容：
- 回顾向量空间以及子空间的知识点
- 使用线性方程组的思想看待列空间问题
- 零空间的概念
向量空间以及子空间
这里主要是对之前的知识的一点回顾，有一点新问题是对于子空间，交以及并是否仍然是子空间？
这里以三维空间
R
3
R^{3}
R3 为例：
取
P
P
P 为三维空间中过原点的一个平面（plane） ，取
L
L
L 为三维空间中过原点的一条直线，则根据向量空间以及子空间的定义，可以得知
P
P
P 和
L
L
L 都是三维空间的子空间，那么有：
P
⋃
L
P\bigcup L
P⋃L 非子空间，而
P
⋂
L
P\bigcap L
P⋂L 是子空间，很好理解，如果在
P
P
P 和
L
L
L 中各取一个向量，则它们的向量和不一定在并集之内，而交集则是两个向量的肯定共同属于
P
P
P 和
L
L
L。
矩阵的列空间（Column Space）
在之前的一讲中我们知道将矩阵
A
A
A 看作是多个列向量，则这些列向量的所有线性组合就组成了列空间（column space 简记为
C
(
A
)
C(A)
C(A)），这里老师使用的例子：
A
=
(
1
1
2
2
1
3
3
1
4
4
1
5
)
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\ 2 & 1 & 3\\ 3 & 1 & 4\\ 4 & 1 & 5 \end{pmatrix}
A=⎝⎜⎜⎛123411112345⎠⎟⎟⎞
将三个列向量的所有线性组合得出向量放在一起，就得到了列空间（这里的
C
(
A
)
C(A)
C(A) 是四维空间的一个子空间），现在有一个问题：
C
(
A
)
C(A)
C(A) 是否能构成整个四维空间？
如果我们使用方程的思想来看，也就转化为这个问题：
A
X
=
b
AX=b
AX=b 是否总是有解？即：
(
1
1
2
2
1
3
3
1
4
4
1
5
)
(
x
1
x
2
x
3
)
=
b
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\ 2 & 1 & 3\\ 3 & 1 & 4\\ 4 & 1 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{pmatrix} = b
⎝⎜⎜⎛123411112345⎠⎟⎟⎞⎝⎛x1x2x3⎠⎞=b
直观一点来想的话：是不能的，我们有三个四维向量（实际上是两个），只能构成一个三维平面，现在却要表示四维空间的所有向量，一般是无解的。
知道
C
(
A
)
C(A)
C(A) 无法覆盖整个四维空间之后，关于上面的方程组还有一个结论：如果上面的方程有解，显然有一个条件：
b
⊂
C
(
A
)
b\subset C(A)
b⊂C(A)。
零空间（Null Space）
接下来是一个新的概念：零空间（null space 简记为：
N
(
A
)
N(A)
N(A)），其实是上面的方程组的一种情况，也就是考虑
A
x
=
0
Ax=0
Ax=0 的解，方程的所有解向量构成了零空间，可以看出零空间是三维空间
R
3
R^{3}
R3 的一个子空间，而列空间，则是四维空间
R
4
R^{4}
R4 的一个子空间，这个地方注意一下，比如之前的例子：
(
1
1
2
2
1
3
3
1
4
4
1
5
)
(
x
1
x
2
x
3
)
=
(
0
0
0
0
)
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\ 2 & 1 & 3\\ 3 & 1 & 4\\ 4 & 1 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}
⎝⎜⎜⎛123411112345⎠⎟⎟⎞⎝⎛x1x2x3⎠⎞=⎝⎜⎜⎛0000⎠⎟⎟⎞
因为第三列其实是前两列的组合，我们可以很简单的求解这个方程：
x
=
c
(
1
1
−
1
)
x = c\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ -1\\ \end{pmatrix}
x=c⎝⎛11−1⎠⎞
结果是四维空间的一条直线。
接下来，我们来验证一下
A
x
=
0
Ax=0
Ax=0 的解总是可以构成子空间，也就是检验解满足向量的加法以及数乘，其实非常简单：
设任意
v
v
v，
w
w
w 都是方程的解，则加法：
{
A
v
=
0
A
w
=
0
⇒
A
(
v
+
w
)
=
0
\left\{\begin{matrix} Av=0\\ Aw=0 \end{matrix}\right. \Rightarrow A(v+w) = 0
{Av=0Aw=0⇒A(v+w)=0
数乘就更明显了。
这一讲的内容比较简单，主要是为下面的内容介绍几个概念。
以上~
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