MIT 线性代数导论第四讲：矩阵的LU分解

这一讲的主要内容有：

矩阵转置与逆的顺序问题
矩阵
置换矩阵群

矩阵转置与逆

首先关于矩阵的分解要用到几个定理：
对于矩阵

$A$ 和矩阵

$B$ ：

求两个矩阵乘积的逆矩阵
只需要交换两个矩阵的逆的顺序并相乘即可，也就是：

(

)

−

(AB)X = I , X = B^{-1}A^{-1}

$(A B) X = I, X = B^{- 1} A^{- 1}$
对于单个矩阵，转置运算和逆运算可以交换顺序

(

−

)

(

)

−

(A^{-1})^{T} = (A^{T})^{-1}

$(A^{- 1})^{T} = (A^{T})^{- 1}$
证明过程如下：

−

AA^{-1} = I

$A A^{- 1} = I$ 的左右同时转置，单位阵转置之后仍然是单位阵，此时也就是

(

−

)

(A^{-1})^{T}A^{T} = I

$(A^{- 1})^{T} A^{T} = I$ （注意交换顺序了，这是转置的规则）所以

(

−

)

(A^{-1})^{T}

$(A^{- 1})^{T}$ 是

A^{T}

$A^{T}$ 的逆矩阵（因为两个矩阵相乘的结果是单位阵）

矩阵

这个知识点是比较好理解的，首先来看对于一个矩阵

$A$ 如何变化为矩阵

$U$ ，成为一个上三角矩阵？这是上一讲的内容，我们可以左乘一系初等矩阵，来控制行变换，从而得到

$U$ ，以33的矩阵为例：

A

→

E

32

E

31

E

21

A

=

U

A\rightarrow E_{32}E_{31}E_{21}A = U

$A \to E_{32} E_{31} E_{21} A = U$
其中

E

32

E_{32}

$E_{32}$ 等下标表示进行组合的行，一个普通的33的矩阵，如果变为上三角矩阵，总共要消去三个元素，也就是对角线下面的三个，因此需要上述式子的三个消元矩阵。
我们对上面的式子进行变形：

(

)

−

(

)

−

(

)

−

A=(E_{21})^{-1}(E_{31})^{-1}(E_{32})^{-1}U

$A = (E_{21})^{- 1} (E_{31})^{- 1} (E_{32})^{- 1} U$
注意这里是左边三个消元矩阵的逆序逆矩阵，写一下就会注意到。
那么我们索要进行的

$L U$ 分解中的矩阵

$L$ 也就是上面三个逆矩阵的乘积了，也就是：

(

)

−

(

)

−

(

)

−

L= (E_{21})^{-1}(E_{31})^{-1}(E_{32})^{-1}

$L = (E_{21})^{- 1} (E_{31})^{- 1} (E_{32})^{- 1}$
看起来很麻烦，还要计算三个消元矩阵，又要计算他们的逆，其实不然，对于初等矩阵，之前讲到过，它的逆只要把变换再还回去就是了，比如矩阵

(

)

\begin{pmatrix} 1 &0 &0 \\ 2& 1 &0 \\ 0& 0 &1 \end{pmatrix}

$⎝ ⎛ 120010001 ⎠ ⎞$ 表示将矩阵的第一行乘2加到第二行上（如果用它右乘一个矩阵的话），那么这个操作的逆操作就是从第二行减去2倍的第一行就是了，所以它的逆矩阵就是

(

−

)

\begin{pmatrix} 1 &0 &0 \\ -2& 1 &0 \\ 0& 0 &1 \end{pmatrix}

$⎝ ⎛ 1 - 2 0 010001 ⎠ ⎞$ 所以其实很简单。

补充置换矩阵的一些内容

这一讲额最后，还补充了一些行变换置换矩阵的问题，比如，3*3的矩阵，它的行变换置换矩阵有几种情况？
其实就是三行的全排列，也就是3的阶乘，其他维数的矩阵计算也是如此。
所有的情况如下：

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

\begin{pmatrix} 1 &0 &0 \\ 0& 1 &0 \\ 0& 0 &1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 &0 &0 \\ 0& 0 &1 \\ 0& 1 &0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 &1 &0 \\ 1& 0 &0 \\ 0& 0 &1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 &1 &0 \\ 0& 0 &1\\ 1& 0 &0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 &0 &1 \\ 0& 1 &0 \\ 1& 0 &0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 &0 &1 \\ 1& 0 &0 \\ 0& 1 &0 \end{pmatrix}

$⎝ ⎛ 100010001 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 100001010 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 010100001 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 001100010 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 001010100 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 010001100 ⎠ ⎞$
这一组矩阵群有个很奇妙的性质，任意两个矩阵的乘积或者逆都在这个矩阵群里，并且每个矩阵的逆矩阵等于它的转置。