这一讲主要是从行和列两个角度看待方程组的几何解释：
行图像（row picture）
从每个方程的角度理解，例如方程组：
{
2
x
−
y
=
0
−
x
+
2
y
=
3
\left\{\begin{matrix} 2x-y=0\\ -x+2y=3 \end{matrix}\right.
{2x−y=0−x+2y=3
其中每一个方程可以看作二维平面上的一条直线，因此，整个方程组的解就是两条直线的交点，这个是我们习惯的想法，图像如下：
更为重要的思路是接下来的列图像的方式进行几何解释，这是线性代数最为核心的思路。
列图像（column picture）
我们换一种想法，在列上考虑整体方程组，而不是单个的方程，可以得到下面的形式
x
[
2
−
1
]
+
y
[
−
1
2
]
=
[
0
3
]
x\begin{bmatrix} 2\\ -1 \end{bmatrix}+y\begin{bmatrix} -1\\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 3 \end{bmatrix}
x[2−1]+y[−12]=[03]
那么我们将括号中的内容理解为向量，那么线性方程组就转化为求解一组解
x
x
x,
y
y
y使的前面两个向量的组合可以得到第三个向量，从图像上可以更清楚地理解：
那么进一步，我们可以使用矩阵的形式表示上述过程，将系数与未知量分开，如下：
(
2
−
1
−
1
2
)
(
x
y
)
=
(
0
3
)
\begin{pmatrix} 2 & -1\\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 3 \end{pmatrix}
(2−1−12)(xy)=(03)
将上述的过程一般化，我们可以使用矩阵
A
A
A表示系数矩阵，
x
x
x向量表示要求的线性组合，使用向量
b
b
b表示组合的结果：
A
x
=
b
Ax = b
Ax=b
这就是线性代数中所常见的矩阵相乘的形式。
二维的情况比较好理解，教授在课上还举了一个三维的例子，其实原理是一样的，如果拓展到更高维的空间，方法还是一样的。
关于
A
x
=
b
Ax=b
Ax=b 存在解的问题
考虑问题：对于任意的一个向量b，是否总存在x使得上式成立。对应上面的过程，其实这个问题就是使用A（这里矩阵可以理解为多个列向量）的列向量，是否可以覆盖整个空间？例如
A中是二维向量，那么是否可以通过一定的线性组合覆盖整个平面？（三维就是覆盖整个空间）那么，我们可以想到，对于二维空间，如果两个向量恰好在一条直线上，那么显然无法覆盖整个平面，如果是一般的情况则是可以的，对于这个解的问题，是线性代数的一个重要问题，后面会有更具体的解释。
以上~
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