n皇后问题

n−皇后问题是指将 n个皇后放在 n×n 的国际象棋棋盘上，使得皇后不能相互攻击到，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上。

现在给定整数 n，请你输出所有的满足条件的棋子摆法。

输入格式

共一行，包含整数 n。

输出格式

每个解决方案占 n 行，每行输出一个长度为 n 的字符串，用来表示完整的棋盘状态。

其中 . 表示某一个位置的方格状态为空，Q 表示某一个位置的方格上摆着皇后。

每个方案输出完成后，输出一个空行。

注意：行末不能有多余空格。

输出方案的顺序任意，只要不重复且没有遗漏即可。

数据范围

1≤n≤9

输入样例：

输出样例：

.Q..
...Q
Q...
..Q.

..Q.
Q...
...Q
.Q..

解析

对于每一个格子只有放与不放皇后两种选择，那么我们可以枚举每一个格子，那么时间复杂度为

对角线问题，我们怎么判断枚举到的位置所在对角线是否已经有皇后了，借用一位大佬的图，如下：

代码如下（附注释）：

#include <iostream>
using namespace std;
char s[10][10]; //存放每一种方案
int n; 
bool row[10],col[10],dg[20],udg[20]; //b = x + y， 所以对角线和反对角线开两倍
// u表示已经放上去的皇后个数
void dfs(int x, int y, int u) {
    if(y == n) y = 0 , x ++; //y到第n列的时候已经超出范围了，因为y的范围是0~n-1
    if(x == n) { // x==n说明已经枚举完n^2个位置了
        if(u == n) { // u==n说明成功放上去了n个皇后
            for(int i = 0 ; i < n; i ++) puts(s[i]);
            puts("");
        }
        return ; //输出方案后回溯
    }
    // 分支1：放皇后
    if(!row[x] && !col[y] && !dg[x + y] && !udg[x - y + n]) {
        s[x][y] = 'Q';
        row[x] = col[y] = dg[x + y] = udg[x - y + n] = true;
        //恢复现场
        dfs(x, y + 1, u + 1);
        row[x] = col[y] = dg[x + y] = udg[x - y + n] = false;
        s[x][y] = '.';
    }
    
    // 分支2：不放皇后
    dfs(x, y + 1, u);
}
int main() {
    cin >> n;
    //初始化棋盘
    for(int i = 0 ; i < n ; i ++) 
        for(int j = 0 ; j < n; j ++)
            s[i][j] = '.';
    dfs(0, 0, 0); //一开始放置了0个皇后
    return 0;
}

改进

上面的方式是枚举每一个格子，进一步想一下，棋盘上的每一行和每一列只能有一个皇后，那么我们可不可以直接枚举每一行（或者列）呢？当然是可以的，时间复杂度为。代码如下（附注释）：

#include <iostream>
using namespace std;
char s[10][10]; //存放每一种方案
int n; 
bool col[10],dg[20],udg[20]; //b = x + y， 所以对角线和反对角线开两倍
void dfs(int u) {
    if(u == n) { //n个皇后全部放置
        for(int i = 0 ; i < n ; i ++)  //输出方案
            printf("%s\n",s[i]); 
        puts(""); //题目要求的换行
    }
    for(int i = 0 ; i < n; i ++) {  //对于每一行，我们枚举每一列
        //如果这一列没放过，所在对角线和反对角线也没被放过，那么继续深度搜索
        if(!col[i] && !udg[i + u] && !dg[n - u + i]) {
            col[i] = udg[i + u] = dg[n - u + i] = true;
            s[u][i] = 'Q';
            dfs(u + 1); 
            //恢复现场
            col[i] = udg[i + u] = dg[n - u + i] = false;
            s[u][i] = '.';  
        }
    }
}
int main() {
    cin >> n;
    //初始化棋盘
    for(int i = 0 ; i < n ; i ++) 
        for(int j = 0 ; j < n; j ++)
            s[i][j] = '.';
    dfs(0); //一开始放置了0个皇后
    return 0;
}

文章由极客之音整理，本文链接：https://www.bmabk.com/index.php/post/118463.html