一、概念

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树：

若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值；
若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值；
它的左右子树也分别为二叉搜索树。
中序遍历是有序的。

初始代码：

public class BinarySearchTree {
    static class TreeNode{
        public int val;
        public TreeNode left;
        public TreeNode right;

        public TreeNode(int val) {
            this.val = val;
        }
    }

    public TreeNode root;
}

二、操作

2.1 操作-查找

代码实现：

    public TreeNode search(int val){
        TreeNode cur = root;
        while(cur != null){
            if(cur.val < val){
                cur = cur.right;
            }else if(cur.val > val){
                cur = cur.left;
            }else{
                return cur;
            }
        }
        return null;
    }

2.2 操作-插入

如果树为空树，即根 == null，直接插入
如果树不是空树，按照查找逻辑确定插入位置，插入新结点

代码实现：

    public boolean insert(int key){
        if(root == null){
            root = new TreeNode(key);
            return true;
        }
        TreeNode parent = null;
        TreeNode cur = root;
        while(cur != null){
            if(key > cur.val){
                parent = cur;
                cur = cur.right;
            }else if(key < cur.val){
                parent = cur;
                cur = cur.left;
            }else{
                return false;   // 相同的key是不能进行插入的
            }
        }
        // cur == null
        TreeNode node = new TreeNode(key);
        if(key < parent.val){
            parent.left = node;
        }else{
            parent.right = node;
        }
        return true;
    }

2.3 操作-删除（难点）

设待删除结点为 cur, 待删除结点的双亲结点为 parent 。

cur.left == null
1. cur 是 root，则 root = cur.right
2. cur 不是 root，cur 是 parent.left，则 parent.left = cur.right
3. cur 不是 root，cur 是 parent.right，则 parent.right = cur.right
cur.right == null
1. cur 是 root，则 root = cur.left
2. cur 不是 root，cur 是 parent.left，则 parent.left = cur.left
3. cur 不是 root，cur 是 parent.right，则 parent.right = cur.left
cur.left != null && cur.right != null
1. 需要使用替换法进行删除：cur左树的最右边节点和cur右树的最左边节点完全可以在cur的位置（也符合搜索树），所以我们对这两节点中任意一个进行删除，然后把值替换到cur即可。

代码实现：

    private void removeNode(TreeNode parent,TreeNode cur){
        if(cur.left == null){
            if(cur == root){
                root = cur.right;
            }else if(cur == parent.left){
                parent.left = cur.right;
            }else{
                parent.right = cur.right;
            }
        }else if(cur.right == null){
            if(cur == root){
                root = cur.left;
            }else if(cur == parent.left){
                parent.left = cur.left;
            }else{
                parent.right = cur.left;
            }
        }else{
            TreeNode target = cur.right;
            TreeNode targetParent = cur;
            while(target.left != null) {
                targetParent = target;
                target = target.left;
            }
            cur.val = target.val;
            // 再递归一次: removeNode(targetParent,target); 或者:
            if(target == targetParent.left){
                targetParent.left = target.right;
            }else{
                targetParent.right = target.right;
            }
        }
    }

2.4 性能分析

插入和删除操作都必须先查找，查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能。
对有n个结点的二叉搜索树，若每个元素查找的概率相等，则二叉搜索树平均查找长度是结点在二叉搜索树的深度的函数，即结点越深，则比较次数越多。
但对于同一个关键码集合，如果各关键码插入的次序不同，可能得到不同结构的二叉搜索树：

最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树，时间复杂度为：O(log₂N)
最差情况下，二叉搜索树退化为单支树，时间复杂度为：O(N)