一、线性规划（linear programming，LP）

线性规划的标准形式如下：

求的是 min
所有的约束为 <= 的形式
所有的变量均 >=0

如何变为标准形式？

原来是max, 直接乘以 -1求min
若原来约束为 = ，转为 >= 且 <=（写两个式子，同时成立相当于 = ）
约束原来为 >= 同样的乘以 -1，就变成了 <=
若有变量 xi < 0 ，那么用 x₁ – x₂来替代，其中x₁>=0， x₂>=0

二、用 python 实现线性规划

1. 方法：使用 scipy 包中的 optimize.linprog

python真的是非常强大。其 scipy 包里面包含了很多科学计算相关的模块方法。

官方文档：scipy.optimize.linprog

函数调用方法：

scipy.optimize.linprog(c, A_ub=None, b_ub=None, A_eq=None, b_eq=None, bounds=None, method='interior-point', callback=None, options=None, x0=None)

函数解释：

线性规划：最小化受线性等式和不等式约束的线性目标函数。

线性规划解决以下形式的问题：

其中 x 为决策变量的向量；c、b_ub、b_eq、l 、u是向量；A_ub 和 A_eq 是矩阵。
参数 method ：“interior-point”(默认)、“highs”、“highs-ds”、“highs-ipm”、“revised simplex”、and “simplex” (legacy)

2. 实例

原题目：

有2000元经费，需要采购单价为50元的若干桌子和单价为20元的若干椅子，你希望桌椅的总数尽可能的多，但要求椅子数量不少于桌子数量，且不多于桌子数量的1.5倍，那你需要怎样的一个采购方案呢？

解：要采购x1张桌子，x2把椅子，形式化为：

max z= x1 + x2
s.t. x1 - x2 <= 0
1.5x1 >= x2
50x1 + 20x2 <= 2000
x1, x2 >=0

代码：

from scipy import optimize as opt
import numpy as np
# 参数
# c是目标函数里变量的系数
c = np.array([1, 1])
# a是不等式条件的变量系数
a = np.array([[1, -1], [-1.5, 1], [50, 20]])
# b是不等式条件的常数项
b = np.array([0, 0, 2000])
# a1，b1是等式条件的变量系数和常数项，这个例子里无等式条件,不要这两项
# a1=np.array([[1,1,1]])
# b1=np.array([7])
# 限制
lim1 = (0, None)  # (0,None)->(0,+无穷)
lim2 = (0, None)
# 调用函数
ans = opt.linprog(-c, a, b, bounds=(lim1, lim2), method = "interior-point")
# 输出结果
print(ans)

输出结果：

     con: array([], dtype=float64)
     fun: -62.49999900611857     # 目标函数的最优值
 message: 'Optimization terminated successfully.'  # 算法退出状态的字符串描述符
     nit: 5        # 在所有阶段执行的迭代总数
   slack: array([ 1.24999998e+01, -3.33121619e-09,  3.18441803e-05])
  status: 0        # 表示算法的退出状态：0: 优化成功终止。1：达到迭代限制。2: 问题似乎是不可行的。3: 问题似乎是无限的。4: 遇到数值困难。
 success: True     # 当算法成功找到最优解时，为True
       x: array([24.9999996 , 37.49999941])   # 在满足约束条件的同时最小化目标函数的决策变量的值