高数考试必备知识点

三角函数与反三角函数的知识点

1. 正弦函数 y=sin x， 反正弦函数 y=arcsin x
   • y = sin x， x∈R， y∈[–1，1]，周期为2π，函数图像以 x = (π/2) + kπ 为对称轴
   • y = arcsin x， x∈[–1，1]， y∈[–π/2，π/2]

2. sin x = 0 ←→ arcsin x = 0

3. sin x = 1/2 ←→ arcsin x = π/6

4. sin x = √2/2 ←→ arcsin x = π/4

5. sin x = 1 ←→ arcsin x = π/2

6. 余弦函数 y=cos x， 反余弦函数 y=arccos x
   • y = cos x， x∈R， y∈[–1，1]，周期为2π，函数图像以 x = kπ 为对称轴
   • y = arccos x， x∈[–1，1]， y∈[0，π]

7. cos x = 0 ←→ arccos x = π/2

8. cos x = 1/2 ←→ arccos x = π/3

9. cos x = √2/2 ←→ arccos x = π/4

10. cos x = 1 ←→ arccos x = 0

11. 反正弦函数 y=arcsin x， 反余弦函数 y=arccos x
    y = arcsin x 与 y = arccos x 自变量的取值范围都是 x∈[–1，1]
    y = arcsin x 与 y = arccos x 的图像关于直线 y = π/4 对称，相交与点 (√2/2 ，π/4)

12. 正切函数 y=tan x， 余切函数 y=cot x
    • y = tan x， x∈( (–π/2) + kπ， (π/2) + kπ )， y∈R，周期为π，当 x → ± (π/2) + kπ 时，函数的极限是无穷大 ∞
    • y = cot x = 1 / tan x， x∈( 0，kπ )， y∈R，周期为π，当 x → kπ 时，函数的极限是无穷大 ∞
    • y = tan x 与 y = cot x 的图像关于 x = (π/4) + kπ/2 对称
    • 在单个周期内（第一个），y = tan x 与 y = cot x 的图像相交与点 （π/4 ，1）。当 x = (π/4) + kπ/2 时，y = tan x 与 y = cot x 函数的值都相等，等于 ±1

13. 反正切函数 y=arctan x， 反余切函数 y=arccot x

• y = arctan x 与 y = arccot x 自变量的取值范围都是 x∈R
• y = arctan x 与 y = arccot x 的图像关于直线 y = π/4 对称，相交与点 (1 ，π/4)

1. tan x = 0 ←→ arctan x = 0
2. tan x = 1 ←→ arctan x = π/4
3. tan x = √3 ←→ arctan x = π/3
4. 余割函数 y=csc x
   • y = csc x = 1 / sin x，x∈(0，kπ )， y∈(–∞，–1]∪[1，∞)，周期为π，当 x → kπ 时，函数的极限是无穷大 ∞
5. 正割函数 y=sec x
   • y = sec x = 1 / cos x，x∈( (–π/2) + kπ， (π/2) + kπ )， y∈(–∞，–1]∪[1，∞)，周期为π，当 x → (π/2) + kπ 时，函数的极限是无穷大 ∞。

函数
1.1函数及其性质
映射：非空集合X、Y，若存在一个法则f，使X中每个元素x在Y中有唯一确定的数y与之对应，则称f为从X到Y的映射。
（单射、满射、双射、逆映射、复合映射）
函数：D为实数集，则映射 为定义在D上的函数。
（定义域对应的函数值只有一个的函数为单值函数，否则为多值函数）
疑问：多值函数（如： ）为一对多的映射情况，可这种映射不符合映射的定义，故多值函数还算函数吗？
函数特性：单调性、有界性、奇偶性、周期性。
1.2 数列的极限
数列极限：设有数列 及常数a，若 ，当 时有 成立，则称a是数列 的极限或称 收敛于a。
记为 ，其几何解释为所有下标大于N的项都落在a的邻域内。
(数列极限的定义只能验证，不能求解)
数列极限性质：唯一性、有界性、保号性。
1.3 函数的极限
函数极限：
(1) 自变量趋于无穷大时
设f(x)定义在 上，A是一个确定的数，
若 ，使当|x| > X时，恒有|f(x) – A|<，则称A是f(x)当时的极限。
记为
(2) 自变量趋于有限值时
设f(x)在 的某去心邻域内有定义，A是一个确定的数，
若 ，使当 时，恒有|f(x) – A|< ，则称A是f(x)当时的极限。
记为 (左极限、右极限)
（函数极限证明通过定义，与数列极限证明同理）
函数极限性质：唯一性、局部有界性、局部保号性。
1.4 极限的运算法则
函数极限四则运算法则：若 , , 则
(1)
(2)
(3)
数列极限四则运算法则：与函数法则同理。
复合函数极限运算法则:
常用结论： (1) (2)
(3) (4)
(5) P(x),Q(x)为多项式函数，求 若 ，则 若 , 则把P(x),Q(x)因式分解约去公因式后再处理 若 ， , 则
(6) 一般地，当 ，m和n为非负整数时有 (分子分母同除 )
当n=m, 当n>m， 0，
当n<m, 当
1.5 极限存在准则 两个重要极限
(1) 夹逼准则：在给定的变化过程中，如果g(x),f(x),h(x)满足
① 则 ②
(2) 单独有界准则：单调有界数列必有极限（单调递增（减）数列只需上（下）有界）
(3) Cauchy收敛准则：数列{undefined }收敛的充分必要条件时
,使得当 m > N , n > N时，有 。
满足上述条件的数列也称Cauchy数列或基本数列。
(4) 第一重要极限：
(5) 第二重要极限：
1.6 无穷小与无穷大
无穷小：若 , 则称f(x)当 时为无穷小。（如 ）
若 ，当 时 |f(x)| < ，则称f(x)当时为无穷小。
(1) 数 “0” 是无穷小量。
(2) 无穷小并不是一个很小的数，其是一类特殊函数，是在某一变化过程中极限为0的函数，并且在一个过程中为无穷小的量在另一过程中可能不是无穷小量。
(3) , 其中 。
无穷大：若 ,则称f(x)当 时为无穷大。（如 ）
若 ，当 时 |f(x)| > M，则称f(x)当时为无穷大。
(1) 无穷大是变量，不能与很大的数混淆。
(2) 切勿将 认为极限存在。
二者关系：在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则 为无穷小。反之，如果f(x)为无穷小，且 ，则为无穷大。
定理：(1) 有限个无穷小的代数和（乘积）仍为无穷小（无限个无穷小的代数和未必是无穷小；n 个 为1）。
(2) 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
(3) 有限个无穷大的乘积是无穷大（两个无穷大的和与差不一定是无穷大；） 。
(4) 无穷大与有界函数之和是无穷大（无穷大与有界函数乘积不一定无穷大；）。
无穷小阶：设 , 且 。
(1) 如果 , 就说 是比 高阶的无穷小；
(2) 如果 , 就说 是比 低阶的无穷小；
(3) 如果 , 就说 与 是同阶的无穷小；
(4) 如果 , 就说 与 是等价的无穷小；
(5) 如果 , 就说 是 比的k阶的无穷小；
等价无穷小替换定理：设 , 且 存在，则 。
(1) 等价无穷小代换只适用于乘积中（代数和或复合函数不可应用）；
(2) 常用等价无穷小（当 时）
sin x~x , tan x~x arcsin x~x arctan x~ x ln(1+x) x -1~x 1-cos x~
1.7 函数连续
函数连续定义：设函数y=f(x)在点 的某一邻域内有定义， ，则函数f(x)在 处连续。
① 在x= 处有定义。
② lim f(x)存在，lim f(x)=f( )
函数间断定义：①在x= 没有定义； ②虽在x= 有定义但lim f(x)不存在； ③虽在x= 有定义且在lim f(x)存在，但lim f(x)≠f( )。
函数间断点的分类：第一类间断点，第二类间断点。
第一类：无穷间断点、可去间断点、振荡间断点
1.8 连续函数的运算与初等函数的连续性
1、如果函数f(x)与g(x)在点 连续，那么它们的和差积商都在点 连续。
2、如果f(x)在某区间内单调递增且连续，那么它的反函数也在此区间内单调递增且连续。
3、复合函数f[g(x)],g(x)连续，那么f[g(x)]也连续。
一切初等函数在定义域内都是连续。