1.1 红黑树的引入
有了二叉搜索树，为什么还需要平衡二叉树？
1.在学习二叉搜索树、平衡二叉树时，我们不止一次提到，二叉搜索树容易退化成一条链
这时，查找的时间复杂度从
也退化到O（N）
2.引入对左右子树高度差有限制的平衡二叉树，保证查找操作的最坏时间复杂度也为
有了平衡二叉树，为什么还需要红黑树？
1. AVL的左右子树高度差不能超过1，每次进行插入/删除操作时，几乎都需要通过旋转操作保持平衡
2.在频繁进行插入/删除的场景中，频繁的旋转操作使得AVL的性能大打折扣
3.红黑树通过牺牲严格的平衡，换取插入/删除时少量的旋转操作，整体性能优于AVL
4.红黑树插入时的不平衡，不超过两次旋转就可以解决；删除时的不平衡，不超过三次旋转就能解决
5.红黑树的红黑规则，保证最坏的情况下，时间内查找操作
1.2红黑树规则以及构建
规则：
- 节点不是黑色，就是红色（非黑即红）
- 根节点为黑色
- 叶节点为黑色（叶节点是指末梢的空节点
Nil或Null） - 一个节点为红色，则其两个子节点必须是黑色的（根到叶子的所有路径，不可能存在两个连续的红色节点）
- 每个节点到叶子节点的所有路径，都包含相同数目的黑色节点（相同的黑色高度）
图像：
构建：
enum RBTColor{RED, BLACK};
template <class T>
class RBTNode{
public:
RBTColor color; // 颜色
T key; // 关键字(键值)
RBTNode *left; // 左孩子
RBTNode *right; // 右孩子
RBTNode *parent; // 父结点
RBTNode(T value, RBTColor c, RBTNode *p, RBTNode *l, RBTNode *r):
key(value),color(c),parent(),left(l),right(r) {}
};
template <class T>
class RBTree {
private:
RBTNode<T> *mRoot; // 根结点
public:
RBTree();
~RBTree();
// 前序遍历"红黑树"
void preOrder();
// 中序遍历"红黑树"
void inOrder();
// 后序遍历"红黑树"
void postOrder();
// (递归实现)查找"红黑树"中键值为key的节点
RBTNode<T>* search(T key);
// (非递归实现)查找"红黑树"中键值为key的节点
RBTNode<T>* iterativeSearch(T key);
// 查找最小结点：返回最小结点的键值。
T minimum();
// 查找最大结点：返回最大结点的键值。
T maximum();
// 找结点(x)的后继结点。即，查找"红黑树中数据值大于该结点"的"最小结点"。
RBTNode<T>* successor(RBTNode<T> *x);
// 找结点(x)的前驱结点。即，查找"红黑树中数据值小于该结点"的"最大结点"。
RBTNode<T>* predecessor(RBTNode<T> *x);
// 将结点(key为节点键值)插入到红黑树中
void insert(T key);
// 删除结点(key为节点键值)
void remove(T key);
// 销毁红黑树
void destroy();
// 打印红黑树
void print();
private:
// 前序遍历"红黑树"
void preOrder(RBTNode<T>* tree) const;
// 中序遍历"红黑树"
void inOrder(RBTNode<T>* tree) const;
// 后序遍历"红黑树"
void postOrder(RBTNode<T>* tree) const;
// (递归实现)查找"红黑树x"中键值为key的节点
RBTNode<T>* search(RBTNode<T>* x, T key) const;
// (非递归实现)查找"红黑树x"中键值为key的节点
RBTNode<T>* iterativeSearch(RBTNode<T>* x, T key) const;
// 查找最小结点：返回tree为根结点的红黑树的最小结点。
RBTNode<T>* minimum(RBTNode<T>* tree);
// 查找最大结点：返回tree为根结点的红黑树的最大结点。
RBTNode<T>* maximum(RBTNode<T>* tree);
// 左旋
void leftRotate(RBTNode<T>* &root, RBTNode<T>* x);
// 右旋
void rightRotate(RBTNode<T>* &root, RBTNode<T>* y);
// 插入函数
void insert(RBTNode<T>* &root, RBTNode<T>* node);
// 插入修正函数
void insertFixUp(RBTNode<T>* &root, RBTNode<T>* node);
// 删除函数
void remove(RBTNode<T>* &root, RBTNode<T> *node);
// 删除修正函数
void removeFixUp(RBTNode<T>* &root, RBTNode<T> *node, RBTNode<T> *parent);
// 销毁红黑树
void destroy(RBTNode<T>* &tree);
// 打印红黑树
void print(RBTNode<T>* tree, T key, int direction);
#define rb_parent(r) ((r)->parent)
#define rb_color(r) ((r)->color)
#define rb_is_red(r) ((r)->color==RED)
#define rb_is_black(r) ((r)->color==BLACK)
#define rb_set_black(r) do { (r)->color = BLACK; } while (0)
#define rb_set_red(r) do { (r)->color = RED; } while (0)
#define rb_set_parent(r,p) do { (r)->parent = (p); } while (0)
#define rb_set_color(r,c) do { (r)->color = (c); } while (0)
};2 单旋转
2.1左旋转
代码
template <class T>
void RBTree<T>::leftRotate(RBTNode<T>* &root, RBTNode<T>* x)
{
// 设置x的右孩子为y
RBTNode<T> *y = x->right;
// 将 “y的左孩子” 设为 “x的右孩子”；
// 如果y的左孩子非空，将 “x” 设为 “y的左孩子的父亲”
x->right = y->left;
if (y->left != NULL)
y->left->parent = x;
// 将 “x的父亲” 设为 “y的父亲”
y->parent = x->parent;
if (x->parent == NULL)
{
root = y; // 如果 “x的父亲” 是空节点，则将y设为根节点
}
else
{
if (x->parent->left == x)
x->parent->left = y; // 如果 x是它父节点的左孩子，则将y设为“x的父节点的左孩子”
else
x->parent->right = y; // 如果 x是它父节点的左孩子，则将y设为“x的父节点的左孩子”
}
// 将 “x” 设为 “y的左孩子”
y->left = x;
// 将 “x的父节点” 设为 “y”
x->parent = y;
}2.2 右旋转
代码
* 对红黑树的节点(y)进行右旋转
*
* 右旋示意图(对节点y进行左旋)：
* py py
* / /
* y x
* / \ --(右旋)--> / \ #
* x ry lx y
* / \ / \ #
* lx rx rx ry
*
*/
template <class T>
void RBTree<T>::rightRotate(RBTNode<T>* &root, RBTNode<T>* y)
{
// 设置x是当前节点的左孩子。
RBTNode<T> *x = y->left;
// 将 “x的右孩子” 设为 “y的左孩子”；
// 如果"x的右孩子"不为空的话，将 “y” 设为 “x的右孩子的父亲”
y->left = x->right;
if (x->right != NULL)
x->right->parent = y;
// 将 “y的父亲” 设为 “x的父亲”
x->parent = y->parent;
if (y->parent == NULL)
{
root = x; // 如果 “y的父亲” 是空节点，则将x设为根节点
}
else
{
if (y == y->parent->right)
y->parent->right = x; // 如果 y是它父节点的右孩子，则将x设为“y的父节点的右孩子”
else
y->parent->left = x; // (y是它父节点的左孩子) 将x设为“x的父节点的左孩子”
}
// 将 “y” 设为 “x的右孩子”
x->right = y;
// 将 “y的父节点” 设为 “x”
y->parent = x;
}2.3旋转总结
左面失去平衡说明总体需要右旋，说明该节点的左子树出现两个连续的红色节点，需要判断其左红色节点的下一个红色节点是其右孩子节点还是左孩子节点
旋转就是为了保证红黑规则，所谓右旋，左旋，根本区别就是父节点成为（左子树，还是右子树，以及拿兄弟的左右子树）
1.确定 兄弟 是左右（右旋即是左）
2.拿子树（右旋拿右子树） y->right->parent = x;
3.成为子树 右旋就是右子树
3.1删除
删除操作相比于插入操作情况更加复杂，删除一个节点可以大致分为三种情况：
1.总的结点：
-
1.删除的节点没有孩子节点，即当前节点为叶子节点，这种可以直接删除
-
2.删除的节点有一个孩子节点，这种需要删除当前节点，并使用其孩子节点顶替上来
-
3 被删除节点有两个儿子。那么，先找出它的后继节点；然后把“它的后继节点的内容”复制给“该节点的内容”；之后，删除“它的后继节点”。在这里，后继节点相当于替身，在将后继节点的内容复制给”被删除节点”之后，再将后继节点删除（递归去找）。这样就巧妙的将问题转换为”删除后继节点”的情况了，下面就考虑后继节点。 在”被删除节点”有两个非空子节点的情况下，它的后继节点不可能是双子非空。既然”的后继节点”不可能双子都非空，就意味着”该节点的后继节点”要么没有儿子，要么只有一个儿子。若没有儿子，则按”情况① “进行处理；若只有一个儿子，则按”情况② “进行处理。
第二步：通过”旋转和重新着色”等一系列来修正该树，使之重新成为一棵红黑树。
因为”第一步”中删除节点之后，可能会违背红黑树的特性。所以需要通过”旋转和重新着色”来修正该树，使之重新成为一棵红黑树。
/*
* 删除结点(node)，并返回被删除的结点
*
* 参数说明：
* root 红黑树的根结点
* node 删除的结点
*/
template <class T>
void RBTree<T>::remove(RBTNode<T>* &root, RBTNode<T> *node)
{
RBTNode<T> *child, *parent;
RBTColor color;
// 被删除节点的"左右孩子都不为空"的情况。
if ( (node->left!=NULL) && (node->right!=NULL) )
{
// 被删节点的后继节点。(称为"取代节点")
// 用它来取代"被删节点"的位置，然后再将"被删节点"去掉。
RBTNode<T> *replace = node;
// 获取后继节点
replace = replace->right;
while (replace->left != NULL)
replace = replace->left;
// "node节点"不是根节点(只有根节点不存在父节点)
// 取代自己replace
if (rb_parent(node))
{
if (rb_parent(node)->left == node)
rb_parent(node)->left = replace;
else
rb_parent(node)->right = replace;
}
else
// "node节点"是根节点，更新根节点。
root = replace;
// child是"取代节点"的右孩子，也是需要"调整的节点"。
// "取代节点"肯定不存在左孩子！因为它是一个后继节点。
child = replace->right;
parent = rb_parent(replace);
// 保存"取代节点"的颜色
color = rb_color(replace);
// "被删除节点"是"它的后继节点的父节点"
if (parent == node)
{
parent = replace;
}
else
{
// child不为空
if (child)
rb_set_parent(child, parent);
parent->left = child;
replace->right = node->right;
rb_set_parent(node->right, replace);
}
replace->parent = node->parent;
replace->color = node->color;
replace->left = node->left;
node->left->parent = replace;
if (color == BLACK)
removeFixUp(root, child, parent);
delete node;
return ;
}
if (node->left !=NULL)
child = node->left;
else
child = node->right;
parent = node->parent;
// 保存"取代节点"的颜色
color = node->color;
if (child)
child->parent = parent;
// "node节点"不是根节点
if (parent)
{
if (parent->left == node)
parent->left = child;
else
parent->right = child;
}
else
root = child;
if (color == BLACK)
removeFixUp(root, child, parent);
delete node;
}
/*
* 删除红黑树中键值为key的节点
*
* 参数说明：
* tree 红黑树的根结点
*/
template <class T>
void RBTree<T>::remove(T key)
{
RBTNode<T> *node;
// 查找key对应的节点(node)，找到的话就删除该节点
if ((node = search(mRoot, key)) != NULL)
remove(mRoot, node);
}3.2修正：
对于红黑树而言，单支节点的情况只有如下图所示的一种情况，即为当前节点为黑色，其孩子节点为红色,(1.假设当前节点为红色，其两个孩子节点必须为黑色，2.若有孙子节点，则必为黑色，导致黑子数量不等，而红黑树不平衡)
2.由于红黑树是特殊的二叉查找树，它的删除和二叉查找树类型，真正的删除点即为删除点A的中序遍历的后继(前继也可以)，通过红黑树的特性可知这个后继必然最多只能有一个孩子，其这个孩子节点必然是右孩子节点，从而为单支情况(即这个后继节点只能有一个红色孩子或没有孩子)
下面将详细介绍，在执行删除节点操作之后，将通过修复操作使得红黑树达到平衡的情况。
- Case 1:被删除的节点为红色，则这节点必定为叶子节点(首先这里的被删除的节点指的是真正删除的节点，通过上文得知的真正删除的节点要么是节点本身，要么是其后继节点，若是节点本身则必须为叶子节点，不为叶子节点的话其会有左右孩子，则真正删除的是其右孩子树上的最小值，若是后继节点，也必须为叶子节点，若不是则其也会有左右孩子，从而和2中相违背)，这种情况下删除红色叶节点就可以了，不用进行其他的操作了。
- Case 2:被删除的节点是黑色，其子节点是红色，将其子节点顶替上来并改变其颜色为黑色，如下图所示
-
Case 3:被删除的节点是黑色，其子节点也是黑色，将其子节点顶替上来，变成了双黑的问题，此时有以下情况
- Case 1:新节点的兄弟节点为红色，此时若新节点在左边则做左旋操作，否则做右旋操作，之后再将其父节点颜色改变为红色，兄弟节点
-
从图中可以看出，操作之后红黑树并未达到平衡状态，而是变成的黑兄的情况
-
Case 2:新节点的兄弟节点为黑色,此时可能有如下情况
- 红父二黑侄：将父节点变成黑色，兄弟节点变成红色，新节点变成黑色即可,如下图所示
-
-
黑父二黑侄：将父节点变成新节点的颜色，新节点变成黑色，兄弟节点染成红色，还需要继续以父节点为判定点继续判断,如下图所示
-
-
红侄：
情况一:新节点在右子树，红侄在兄弟节点左子树，此时的操作为右旋，并将兄弟节点变为父亲的颜色，父亲节点变为黑色，侄节点变为黑色，如下图所示
情况二:新节点在右子树，红侄在兄弟节点右子树，此时的操作为先左旋，后右旋并将侄节点变为父亲的颜色，父节点变为黑色，如下图所示
-
情况三：新节点在左子树，红侄在兄弟节点左子树,此时的操作为先右旋在左旋并将侄节点变为父亲的颜色，父亲节点变为黑色，如下图所示
情况四：新节点在右子树，红侄在兄弟节点右子树,此时的操作为左旋，并将兄弟节点变为父节点的颜色，父亲节点变为黑色，侄节点变为黑色，如下图所示
代码：
/*
* 红黑树删除修正函数
*
* 在从红黑树中删除插入节点之后(红黑树失去平衡)，再调用该函数；
* 目的是将它重新塑造成一颗红黑树。
*
* 参数说明：
* root 红黑树的根
* node 待修正的节点
*/
template <class T>
void RBTree<T>::removeFixUp(RBTNode<T>* &root, RBTNode<T> *node, RBTNode<T> *parent)
{
RBTNode<T> *other;
while ((!node || rb_is_black(node)) && node != root)
{
if (parent->left == node)
{
other = parent->right;
if (rb_is_red(other))
{
// Case 1: x的兄弟w是红色的
rb_set_black(other);
rb_set_red(parent);
leftRotate(root, parent);
other = parent->right;
}
if ((!other->left || rb_is_black(other->left)) &&
(!other->right || rb_is_black(other->right)))
{
// Case 2: x的兄弟w是黑色，且w的俩个孩子也都是黑色的
rb_set_red(other);
node = parent;
parent = rb_parent(node);
}
else
{
if (!other->right || rb_is_black(other->right))
{
// Case 3: x的兄弟w是黑色的，并且w的左孩子是红色，右孩子为黑色。
rb_set_black(other->left);
rb_set_red(other);
rightRotate(root, other);
other = parent->right;
}
// Case 4: x的兄弟w是黑色的；并且w的右孩子是红色的，左孩子任意颜色。
rb_set_color(other, rb_color(parent));
rb_set_black(parent);
rb_set_black(other->right);
leftRotate(root, parent);
node = root;
break;
}
}
else
{
other = parent->left;
if (rb_is_red(other))
{
// Case 1: x的兄弟w是红色的
rb_set_black(other);
rb_set_red(parent);
rightRotate(root, parent);
other = parent->left;
}
if ((!other->left || rb_is_black(other->left)) &&
(!other->right || rb_is_black(other->right)))
{
// Case 2: x的兄弟w是黑色，且w的俩个孩子也都是黑色的
rb_set_red(other);
node = parent;
parent = rb_parent(node);
}
else
{
if (!other->left || rb_is_black(other->left))
{
// Case 3: x的兄弟w是黑色的，并且w的左孩子是红色，右孩子为黑色。
rb_set_black(other->right);
rb_set_red(other);
leftRotate(root, other);
other = parent->left;
}
// Case 4: x的兄弟w是黑色的；并且w的右孩子是红色的，左孩子任意颜色。
rb_set_color(other, rb_color(parent));
rb_set_black(parent);
rb_set_black(other->left);
rightRotate(root, parent);
node = root;
break;
}
}
}
if (node)
rb_set_black(node);
}
4 添加：
将一个节点插入到红黑树中，需要执行哪些步骤呢？首先，将红黑树当作一颗二叉查找树，将节点插入；然后，将节点着色为红色；最后，通过旋转和重新着色等方法来修正该树，使之重新成为一颗红黑树。详细描述如下：
第一步: 将红黑树当作一颗二叉查找树，将节点插入。
红黑树本身就是一颗二叉查找树，将节点插入后，该树仍然是一颗二叉查找树。也就意味着，树的键值仍然是有序的。此外，无论是左旋还是右旋，若旋转之前这棵树是二叉查找树，旋转之后它一定还是二叉查找树。这也就意味着，任何的旋转和重新着色操作，都不会改变它仍然是一颗二叉查找树的事实。
好吧？那接下来，我们就来想方设法的旋转以及重新着色，使这颗树重新成为红黑树！
第二步：将插入的节点着色为”红色”。
为什么着色成红色，而不是黑色呢？为什么呢？在回答之前，我们需要重新温习一下红黑树的特性：
(1) 每个节点或者是黑色，或者是红色。
(2) 根节点是黑色。
(3) 每个叶子节点是黑色。 [注意：这里叶子节点，是指为空的叶子节点！]
(4) 如果一个节点是红色的，则它的子节点必须是黑色的。
(5) 从一个节点到该节点的子孙节点的所有路径上包含相同数目的黑节点。
将插入的节点着色为红色，不会违背”特性(5)”！少违背一条特性，就意味着我们需要处理的情况越少。接下来，就要努力的让这棵树满足其它性质即可；满足了的话，它就又是一颗红黑树
第三步: 通过一系列的旋转或着色等操作，使之重新成为一颗红黑树。
第二步中，将插入节点着色为”红色”之后，不会违背”特性(5)”。那它到底会违背哪些特性呢？
对于”特性(1)”，显然不会违背了。因为我们已经将它涂成红色了。
对于”特性(2)”，显然也不会违背。在第一步中，我们是将红黑树当作二叉查找树，然后执行的插入操作。而根据二叉查找数的特点，插入操作不会改变根节点。所以，根节点仍然是黑色。
对于”特性(3)”，显然不会违背了。这里的叶子节点是指的空叶子节点，插入非空节点并不会对它们造成影响。
对于”特性(4)”，是有可能违背的！
那接下来，想办法使之”满足特性(4)”，就可以将树重新构造成红黑树了。
1.黑父
如图所示，这种情况不会破坏红黑树的特性，即不需要任何处理
2.红父
- 红叔
红叔的情况，其实相对来说比较简单的，如下图所示，只需要通过修改父、叔的颜色为黑色，祖的颜色为红色，而且回去递归的检查祖节点即可
- 黑叔
黑叔的情况有如下几种，这几种情况下是不能够通过修改颜色达到平衡的效果，因此会通过旋转的操作，红黑树种有两种旋转操作，左旋和右旋(现在存在的疑问，什么时候使用到左旋，什么时候使用到右旋)
Case 1:（先右旋，在改变颜色(根节点必须为黑色，其两个子节点为红色，叔节点不用改变)],如下图所示，注意省略黑哨兵节点
Case 2:[先左旋变成Case1中的情况，再右旋，最后改变颜色(根节点必须为黑色，其两个子节点为红色，叔节点不用改变)],如下图所示，注意省略黑哨兵节点
Case 3:[先左旋，最后改变颜色(根节点必须为黑色，其两个子节点为红色，叔节点不用改变)],如下图所示，注意省略黑哨兵节点
Case 4:[先右旋变成Case 3的情况，再左旋，最后改变颜色(根节点必须为黑色，其两个子节点为红色，叔节点不用改变)],如下图所示，注意省略黑哨兵节点
*
* 将结点插入到红黑树中
*
* 参数说明：
* root 红黑树的根结点
* node 插入的结点 // 对应《算法导论》中的node
*/
template <class T>
void RBTree<T>::insert(RBTNode<T>* &root, RBTNode<T>* node)
{
RBTNode<T> *y = NULL;
RBTNode<T> *x = root;
// 1. 将红黑树当作一颗二叉查找树，将节点添加到二叉查找树中。
while (x != NULL)
{
y = x;
if (node->key < x->key)
x = x->left;
else
x = x->right;
}
node->parent = y;
if (y!=NULL)
{
if (node->key < y->key)
y->left = node;
else
y->right = node;
}
else
root = node;
// 2. 设置节点的颜色为红色
node->color = RED;
// 3. 将它重新修正为一颗二叉查找树
insertFixUp(root, node);
}
/*
* 将结点(key为节点键值)插入到红黑树中
*
* 参数说明：
* tree 红黑树的根结点
* key 插入结点的键值
*/
template <class T>
void RBTree<T>::insert(T key)
{
RBTNode<T> *z=NULL;
// 如果新建结点失败，则返回。
if ((z=new RBTNode<T>(key,BLACK,NULL,NULL,NULL)) == NULL)
return ;
insert(mRoot, z);
}
/*
* 红黑树插入修正函数
*
* 在向红黑树中插入节点之后(失去平衡)，再调用该函数；
* 目的是将它重新塑造成一颗红黑树。
*
* 参数说明：
* root 红黑树的根
* node 插入的结点 // 对应《算法导论》中的z
*/
template <class T>
void RBTree<T>::insertFixUp(RBTNode<T>* &root, RBTNode<T>* node)
{
RBTNode<T> *parent, *gparent;
// 若“父节点存在，并且父节点的颜色是红色”
while ((parent = rb_parent(node)) && rb_is_red(parent))
{
gparent = rb_parent(parent);
//若“父节点”是“祖父节点的左孩子”
if (parent == gparent->left)
{
// Case 1条件：叔叔节点是红色
{
RBTNode<T> *uncle = gparent->right;
if (uncle && rb_is_red(uncle))
{
rb_set_black(uncle);
rb_set_black(parent);
rb_set_red(gparent);
node = gparent;
continue;
}
}
// Case 2条件：叔叔是黑色，且当前节点是右孩子
if (parent->right == node)
{
RBTNode<T> *tmp;
leftRotate(root, parent);
tmp = parent;
parent = node;
node = tmp;
}
// Case 3条件：叔叔是黑色，且当前节点是左孩子。
rb_set_black(parent);
rb_set_red(gparent);
rightRotate(root, gparent);
}
else//若“z的父节点”是“z的祖父节点的右孩子”
{
// Case 1条件：叔叔节点是红色
{
RBTNode<T> *uncle = gparent->left;
if (uncle && rb_is_red(uncle))
{
rb_set_black(uncle);
rb_set_black(parent);
rb_set_red(gparent);
node = gparent;
continue;
}
}
// Case 2条件：叔叔是黑色，且当前节点是左孩子
if (parent->left == node)
{
RBTNode<T> *tmp;
rightRotate(root, parent);
tmp = parent;
parent = node;
node = tmp;
}
// Case 3条件：叔叔是黑色，且当前节点是右孩子。
rb_set_black(parent);
rb_set_red(gparent);
leftRotate(root, gparent);
}
}
// 将根节点设为黑色
rb_set_black(root);
}。
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