1 基本介绍
（1）黄金分割点是指一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。取其前三位数字的近似值是0.618.由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。这是一个神奇的数字，会带来意想不到的效果。
（2）在讲算法之前，先介绍一下斐波那契数列，该数列公式为F(K) = F(k-1) + F(k-2)，即 1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……。F(k-1)/f(K)随着K的递增，该数越来越接近黄金分割比例，所以该方法也叫黄金分割法。
（3）斐波那契数列{1,1,2,3,5,8,13,21,34,55} 发现斐波那契数列的两个相邻数的比例，无限接近黄金分割值 0.618。
斐波那契（黄金分割法）原理：
斐波那契查找原理与二分查找和插值查找相似，仅仅改变了中间节点（mid）的位置。mid 不再是中间或插值得到，而是位于黄金分割点附近，即 mid = low + F(k-1) -1；其中 F 代表斐波那契数列，这里用图直观理解以下。
对 F(k-1) -1 的理解：
- 由斐波那契数列 F(K) = F(k-1) + F(k-2) 的性质，可以得到 (F[k]-1) = (F[k-1]-1) + (F[k-2]-1) + 1 。
- 该式说明：只要顺序表的长度为 F[k]-1，则可以将该表分成长度为 F[k-1]-1 和 F[k-2]-1 的两段，即如上图所示。从而中间位置为 mid = low + F(k-1) -1
- 类似的，每一段也可以用相同的方式分割
- 但顺序表长度 n 不一定刚好等于 F[k]-1，所以需要将原来的顺序表长度 n 增加至 F[k]-1。这里的 k 值只要能使得 F[k]-1 恰好大于等于 n 即可，由以下代码得到，顺序表长度增加后，新增的位置（从 n+1 到 F[k]-1 位置），都赋为 n 位置的值即可。
2 代码实现
请对一个有序数组进行斐波那契查找{1,8,10,39,1000,1234}，输入一个数看看该数组是否存在此数，并且求出下标，如果没有就返回-1。
代码示例：
/**
* 斐波那契查找
*/
public class FibonaqiSearch {
public static int maxSize = 20;
public static void main(String[] args) {
int[] arr = {1, 8, 10, 89, 1000, 1234};
int index = fibSearch(arr, 1);
System.out.println("index = " + index);
}
// 非递归的方式得到一个斐波那契数列
public static int[] fib() {
int[] f = new int[maxSize];
f[0] = 1;
f[1] = 1;
for (int i = 2; i < maxSize; i++) {
f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
}
return f;
}
/**
* 斐波那契查找，使用非递归的方式
*
* @param arr 数组
* @param key 需要查找的值
* @return 找到，返回对应下标，否则，返回-1
*/
public static int fibSearch(int[] arr, int key) {
int low = 0;
int high = arr.length - 1;
// 表示斐波那契分割数值的下标
int k = 0;
// 存放mid值
int mid = 0;
// 获取斐波那契数列
int[] f = fib();
// 获取斐波那契分割数值的下标
while (high > f[k] - 1) {
k++;
}
// 因为 f[k] 值 可能大于 arr 的长度，因此需要使用 Arrays类，构造一个新的数组，并指向 arr
// 不足的部分会使用 0 填充
int[] temp = Arrays.copyOf(arr, f[k]);
// 实际上需要使用 arr 数组最后的数填充 temp
for (int i = high + 1; i < temp.length; i++) {
temp[i] = arr[high];
}
// 使用while循环来处理
while (low <= high) {
mid = low + f[k - 1] - 1;
if(key < temp[mid]){// 向数组前面查找
high = mid - 1;
// 说明：
// 1.全部元素 = 前面的元素 + 后边元素
// 2. f[k] = f[k-1] + f[k-2]
// 因为前面有 f[k-1] 个元素，所以可以继续拆分 f[k-1] = f[k-2] + f[k-3]
// 即在 f[k-1] 的前面继续查找 k--
k--;
}else if(key > temp[mid]){// 向数组后面查找
low = mid + 1;
// 说明
// 1.全部元素 = 前面的元素 + 后边元素
// 2.f[k] = f[k-1] + f[k-2]
// 3. 因为后面有 f[k-2] 个元素，所以可以继续拆分
// 4.即在 f[k-2]的前面进行查找 k -= 2
k -=2;
}else{
if(mid <= high){
return mid;
}else{
return high;
}
}
}
return -1;
}
}
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