矩阵快速幂：PIPI的数学题IV

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矩阵快速幂：PIPI的数学题IV

问题：

思路：

求斐波拉契数列实际上是一个DP问题，DP的状态转移方程已经给出了，问题在于用给出的状态转移方程进行线性递推，时间复杂度是O(n)的。然而本题的n达到了1e10的规模，肯定会超时，那么有什么办法能优化呢？答案是矩阵快速幂。
快速幂是什么这里就不多说了，给个传送门：数学专题：同余定理、gcd与lcm、中位数定理、筛法、快速幂等
那么什么是矩阵快速幂？矩阵快速幂其实就是将DP的状态转移方程通过矩阵相乘的形式表示，再通过快速幂的方法，降低时间复杂度。比如使用矩阵快速幂，该题O(n)的时间复杂度将降至O(logn)
我们先来看DP[2] = DP[1] + DP[0]，我们可以构造这样一个矩阵相乘来求出DP[2]：

那么如何求出DP[3]，再乘以一个我们所构造的矩阵即可：

依次类推，我们可以发现规律如下：

于是，对于求DP[n]，我们就可以不使用线性递推，而是通过矩阵幂的方法求出。根据快速幂算法，只需要做logn次矩阵乘法就可以计算出第二个矩阵的n-1次幂是多少。而这是个2*2的矩阵，每做一次矩阵乘法的复杂度为一个常数。因此使用矩阵快速幂就可以把时间复杂度从O(n)优化成O(logn)。

一般矩阵快速幂都是和DP联系在一起的，当找到DP状态转移方程，但规模很大的话，可以考虑构造矩阵快速幂进行优化

代码：

import java.util.*;

public class Main {
    static long[][] startMatrix = new long[2][2];
    static long[][] mulMatrix = new long[2][2];
    static final long MOD_NUM = (long) (1e9 + 7);
    public static void main(String[] args) {
        startMatrix[0][0] = 1;
        startMatrix[0][1] = 1;
        mulMatrix[0][0] = 1;
        mulMatrix[0][1] = 1;
        mulMatrix[1][0] = 1;
        long k;
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        while (scanner.hasNextLong()) {
            k = scanner.nextLong();
            System.out.println(fastMatrixPow(startMatrix, k - 1)[0][0] % MOD_NUM);
        }

    }

    static long[][] fastMatrixPow(long[][] matrix, long powNum) {
        long[][] baseMatrix = mulMatrix;
        while (powNum != 0) {
            if ((powNum & 1) == 1) {
                matrix = mulMatrix(matrix, baseMatrix);
            }
            baseMatrix = mulMatrix(baseMatrix, baseMatrix);
            powNum >>= 1;
        }
        return matrix;
    }

    static long[][] mulMatrix(long[][] matrix1, long[][] matrix2) {
        long[][] ans = new long[2][2];
        ans[0][0] = (matrix1[0][0] * matrix2[0][0] % MOD_NUM)
                    + (matrix1[0][1] * matrix2[1][0] % MOD_NUM);
        ans[0][1] = (matrix1[0][0] * matrix2[0][1] % MOD_NUM)
                + (matrix1[0][1] * matrix2[1][1] % MOD_NUM);
        ans[1][0] = (matrix1[1][0] * matrix2[0][0] % MOD_NUM)
                + (matrix1[1][1] * matrix2[1][0] % MOD_NUM);
        ans[1][1] = (matrix1[1][0] * matrix2[0][1] % MOD_NUM)
                + (matrix1[1][1] * matrix2[1][1] % MOD_NUM);
        return ans;
    }
}