1. 普通的Laplacian矩阵
对于给定n个顶点的简单图G, 它的一般 Laplacian matrix 定义如下:
L
=
D
−
A
L = D – A
L=D−A
其中: D是图G的度矩阵，A为图G的邻接矩阵。
2. laplacian matrix的几种常见的表示形式
其中deg(vi)表示顶点vi的度，L为普通laplacian matrix。
（1）对称规范化拉普拉斯矩阵 (Symmetric normalized Laplacian
分析可得,
L
s
y
m
L^{sym}
Lsym中的元素由下面公式给出：
注: 关于为什么要这样规范化Laplacian矩阵, 推荐一个阅读资料:
Why Laplacian Matrix need normalization and how come the sqrt of Degree Matrix?
The Laplacian
L
=
D
−
A
L=D−A
L=D−A works well for the regular graphs.
But the Symmetric Normalised LaplacianL
=
D
−
1
/
2
L
D
−
1
/
2
=
D
−
1
/
2
(
D
−
A
)
D
−
1
/
2
=
I
−
D
−
1
/
2
A
D
−
1
/
2
ℒ=D^{−1/2}LD^{-1/2}=D^{−1/2}(D−A)D^{-1/2}=I−D^{−1/2}AD^{-1/2}
L=D−1/2LD−1/2=D−1/2(D−A)D−1/2=I−D−1/2AD−1/2 not only works well for regular but also irregular graphs.
（2）RW规范化拉普拉斯矩阵 (Random walk normalized Laplacian
L
r
w
L^{rw}
Lrw中的元素由下面公式给出：
（3）广义拉普拉斯矩阵 (Generalized Laplacian)
Generalized Laplacian 矩阵中元素由下面公式给出
注意到，普通的laplacian matrix便属于Generalized Laplacian
3. Laplacian矩阵的性质
- laplacian矩阵是对称，半正定矩阵。
- 存在一个为0的特征值，即rank(L) = n – 1。
- 行和，列和均等于0。
- L的Raleigh熵 R(L, x) = xHLx / xHx
R(L, x)是x的连续函数，max®就是L的最大特征值, min®就是L的最小特征值。
参考博客:
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