【算法系列篇】二分查找——这还是你所知道的二分查找算法吗？

前言

在生活中，我们往往会遇到在数组中查找某个确定的元素的时候，通常我们会选择使用暴力解法，这样虽然简单，但是时间复杂度是O(N)，时间效率比较低。那么是否有方法可以使得在具有二段性的数组中找某一特定的元素的时间复杂度低于0(N)呢？答案是肯定的，当我们可以将数组分为两个部分的时候，也就是数组具有二段性的时候，可以使用二分查找的算法来进行高效的查找。通常二分查找的时间复杂度为O(logN)。那么这篇文章我将为大家分享关于二分查找的知识。

什么是二分查找算法

二分查找算法（Binary Search Algorithm）是一种在有序数组（但不仅限于有序数组）中查找特定元素的搜索算法。它采用分治策略，每次比较数组中间的元素，如果该元素等于目标值，则搜索结束，否则根据目标值与中间元素的大小关系，将搜索范围缩小为数组的左半部分或右半部分，然后在新的搜索范围内重复执行上述操作，直到找到目标值或确定目标值不存在于数组中。

二分查找算法的时间复杂度为O(log n)，其中n为数组的长度。由于每次都能排除一半的元素，因此算法的效率非常高，尤其适用于大规模数据的查找操作。

其实二分查找算法本来并不难，只是实现二分查找算法时，需要注意一些细节，例如处理数组边界、处理相等的情况等。如果没有处理好边界和相等问题的时候，很容易造成死循环。

1.二分查找

https://leetcode.cn/problems/binary-search/

1.1 题目要求

给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。

示例 1:

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 9
输出: 4
解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4

示例 2:

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 2
输出: -1
解释: 2 不存在 nums 中因此返回 -1

提示：

1. 你可以假设 nums 中的所有元素是不重复的。
2. n 将在 [1, 10000]之间。
3. nums 的每个元素都将在 [-9999, 9999]之间。

class Solution {
    public int search(int[] nums, int target) {

    }
}

1.2 做题思路

因为这道题目给的数组是有序的，我们 定义两个变量 left 和 right 分别从数组的开头和末尾开始，求 left 和 right 和的平均值的下标 mid ，然后看 mid 下标所代表的值与 target 的关系，如果 nums[mid] > target ，则可以确定在 [mid,right] 之间没有我们要找的 target 值，所以直接将这一半的数据给“舍弃”，将 right 的值更改为 mid – 1；如果 nums[mid] < target，则说明在 [left,mid] 这一范围内，没有我们需要找的 target 值，将这一部分给“舍弃”，left 的值更新为 mid + 1；如果nums[mid] = target，则返回 mid 的下标。 当然，这只是一种确定区间的方法，也可简单的称为“左闭右闭”，还有“左闭右开”、“左开右闭”这两种确定区间的方法，这两种方法是差不多的，那么就以“左闭右开”这种方式为大家介绍一下。我们前面为大家说明的是“左闭右闭”这种确定区间的方式，左闭右闭是指：left 和 right 这两个值，我们都可以取到，而左闭右开或者左开右闭则只是 left 或者 right 的数据可以取到。确定区间的方式不同，我们最终的循环条件也不同，究竟是 left < right，还是 left <= right，这就取决于我们区间的确定方式，如果是以“左闭右闭”的方式确定的，则需要加上等号，另外两种方式则不需要。 为什么呢？大家可以看看下面的图。

我们就以上面所讲的基本的二分查找算法来看看这道题目该怎么做。

1.3 Java代码实现

class Solution {
	//这里使用的”左闭右闭“的区间确定方式
    public int search(int[] nums, int target) {
        int left = 0;
        int right = nums.length-1;
        while(left <= right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if(nums[mid] < target) {
                left = mid + 1;
            }else if(nums[mid] > target) {
                right = mid - 1;
            }else {
                return mid;
            }
        }

        return -1;
    }
}

求 mid 的方式有两种，一种是 left + (right – left) / 2，一种是 left + (right – left + 1) / 2，这两种求 mid 的方式在这道题目是没什么区别的，具体的区别在后面的题目会遇到。

但是为什么我们不直接用 mid = (right – left) / 2 呢？因为我们不知道数组的大小为多少，很可能会造成 int 或者 long 类型不能够存储 left + right的值。

2.在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

https://leetcode.cn/problems/find-first-and-last-position-of-element-in-sorted-array/

2.1 题目要求

给你一个按照非递减顺序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。请你找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。

如果数组中不存在目标值 target，返回 [-1, -1]。

你必须设计并实现时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

示例 1：

输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
输出：[3,4]

示例 2：

输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
输出：[-1,-1]

示例 3：

输入：nums = [], target = 0
输出：[-1,-1]

提示：

• 0 <= nums.length <= 105
• -109 <= nums[i] <= 109
• nums 是一个非递减数组
• -109 <= target <= 109

class Solution {
    public int[] searchRange(int[] nums, int target) {

    }
}

2.2 做题思路

做这道题目，如果使用和上面一样的思想的话，时间复杂度会降到 O(N)，为什么呢？因为当你找到目标值之后，你还需要找到这个数的起始位置和结束位置，假设我们想要找的数是3，而数组中的数字全是3的话，那么就需要遍历整个数组一遍，时间复杂度就会降到 O(N)，所以我们也就不能使用跟上面一样的思路，也就是朴素二分法，这道题需要我们使用到非朴素的二分算法，朴素算法其实是将数组分成了三个部分，小于目标值的部分，等于目标值的部分和大于目标值的部分，而非朴素算法则是真正的将数组分成了两个部分：小于等于目标值的部分和大于目标值的部分或者是小于目标值的部分和大于等于目标值的部分。这道题就是非朴素算法的思路，将数组分为了两个部分。

寻找左边界的时候，如果 nums[mid] < target ，则说明 mid 在小于目标值的那一部分，这部分肯定没有我们需要的数字，所以将 left 改为 mid + 1，而如果
numd[mid] >= target 的时候，就不能将 right 改为 mid – 1了，因为这个 mid 值可能刚好是我们需要找的值，所以将 right 的值改为 mid 而不是 mid – 1

在寻找有边界的时候，数组被分为了小于等于和大于目标值的两部分，当
nums[mid] <= target 的时候，因为 mid 所指向的位置可能是我们要找的值，所以 left = mid，当 nums[mid] > target 的值，因为在 [mid,righ] 之间肯定没有我们想要找的值，所以right = mid – 1.

数组分为不同的两部分，求 mid 的方法也是不同的，这也就是上面说的 mid = left + (right – left) / 2 和 mid = left + (right – left + 1) / 2的区别。

注意了，循环条件一定不能加等号，因为当left = right的时候，这个相遇的值恰好是我们需要的值，所以没必要多判断一次，更重要的是会陷入死循环。

2.3 Java代码实现

class Solution {
    public int[] searchRange(int[] nums, int target) {
        int[] ret = new int[]{-1,-1};
        int n = nums.length;
        if(n == 0) return ret;  //当数组大小为0时，直接返回
        int left = 0;
        int right = n - 1;
        //求目标值的第一个位置
        while(left < right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if(nums[mid] < target) {
                left = mid + 1;
            }else {
                right = mid;
            }
        }
        if(nums[left] == target) ret[0] = left;  //判断数字中是否存在目标值
        right = n - 1;
        //求目标值的最后一个位置
        while(left < right) {
            int mid = left + (right - left + 1) / 2;
            if(nums[mid] > target) {
                right = mid - 1;
            }else {
                left = mid;
            }
        }
        if(nums[left] == target) ret[1] = left;

        return ret;
    }
}

3.搜索插入位置

https://leetcode.cn/problems/search-insert-position/

3.1 题目要求

给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。

请必须使用时间复杂度为 O(log n) 的算法。

示例 1:

输入: nums = [1,3,5,6], target = 5
输出: 2

示例 2:

输入: nums = [1,3,5,6], target = 2
输出: 1

示例 3:

输入: nums = [1,3,5,6], target = 7
输出: 4

提示:

• 1 <= nums.length <= 104
• -104 <= nums[i] <= 104
• nums 为 无重复元素 的 升序 排列数组
• -104 <= target <= 104

class Solution {
    public int searchInsert(int[] nums, int target) {

    }
}

3.2 做题思路

根据题目，我们可以知道，这个题目大致分为两种情况：目标值在数组中，返回目标值的下标，如果目标值不存在则返回目标值应该插入位置的下标。

可以将数组分为两个部分，这就可以用到我们的二分查找算法了。

3.3 Java代码实现

class Solution {
    public int searchInsert(int[] nums, int target) {
        int n = nums.length;
        int left = 0;
        int right = n - 1;
        while(left < right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if(nums[mid] < target) {
                left = mid + 1;
            }else {
                right = mid;
            }
        }

        if(nums[left] < target) return left + 1;  //当待插入位置位于数组的末尾时，需要作出判断
        else return left;
    }
}

4.x的平方根

https://leetcode.cn/problems/sqrtx/

4.1 题目要求

给你一个非负整数 x ，计算并返回 x 的 算术平方根 。

由于返回类型是整数，结果只保留 整数部分 ，小数部分将被 舍去 。

注意：不允许使用任何内置指数函数和算符，例如 pow(x, 0.5) 或者 x ** 0.5 。

示例 1：

输入：x = 4
输出：2

示例 2：

输入：x = 8
输出：2
解释：8 的算术平方根是 2.82842..., 由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。

提示：

• 0 <= x <= 231 – 1

class Solution {
    public int mySqrt(int x) {

    }
}

4.2 做题思路

如果 x 的平方根为整数的话，则直接返回，如果不是整数的话，则返回平方小于 x 的最大整数，通过这样理解题目，我们也可以将数组分为两个部分，小于等于 x 的部分和大于 x 的部分。同样，使用二分查找的算法解决。

4.3 Java代码实现

class Solution {
    public int mySqrt(int x) {
        long left = 0;  //这里mid * mid可能会很大，超出 int 所能表示的范围，所以我们用 long 来表示
        long right = x;
        while(left < right) {
            long mid = left + (right - left + 1) / 2;
            if(mid * mid > x) {
                right = mid - 1;
            }else {
                left = mid;
            }
        }

        return (int)left;
    }
}

5.山脉数组的峰顶索引

https://leetcode.cn/problems/peak-index-in-a-mountain-array/

5.1 题目要求

符合下列属性的数组 arr 称为 山脉数组 ：

• arr.length >= 3
• 存在 i（0 < i < arr.length – 1）使得：
• • arr[0] < arr[1] < … arr[i-1] < arr[i]
• • arr[i] > arr[i+1] > … > arr[arr.length – 1]
    给你由整数组成的山脉数组 arr ，返回满足 arr[0] < arr[1] < … arr[i – 1] < arr[i] > arr[i + 1] > … > arr[arr.length – 1] 的下标 i 。

你必须设计并实现时间复杂度为 O(log(n)) 的解决方案。

示例 1：

输入：arr = [0,1,0]
输出：1

示例 2：

输入：arr = [0,2,1,0]
输出：1

示例 3：

输入：arr = [0,10,5,2]
输出：1

提示：

• 3 <= arr.length <= 105
• 0 <= arr[i] <= 106
• 题目数据保证 arr 是一个山脉数组

class Solution {
    public int peakIndexInMountainArray(int[] arr) {
        
    }
}

5.2 做题思路

因为题目保证数组 arr 是一个山脉数组，有很明显的二段性，所以很容易想到二分查找的算法。

将数组分为两部分：小于峰顶值的部分和大于等于峰顶值的部分。当 mid 落在小于峰顶值的部分时，我们使 left = mid + 1，如果 mid 落在 大于等于峰顶值的部分时，令right = mid。

5.3 Java代码实现

class Solution {
    public int peakIndexInMountainArray(int[] arr) {
        int left = 0;
        int right = arr.length - 1;
        while(left < right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if(arr[mid] < arr[mid + 1]) {
                left = mid + 1;
            }else {
                right = mid;
            }
        }

        return left;
    }
}

6.寻找峰值

https://leetcode.cn/problems/find-peak-element/

6.1 题目要求

峰值元素是指其值严格大于左右相邻值的元素。

给你一个整数数组 nums，找到峰值元素并返回其索引。数组可能包含多个峰值，在这种情况下，返回 任何一个峰值 所在位置即可。

你可以假设 nums[-1] = nums[n] = -∞ 。

你必须实现时间复杂度为 O(log n) 的算法来解决此问题。

示例 1：

输入：nums = [1,2,3,1]
输出：2
解释：3 是峰值元素，你的函数应该返回其索引 2。

示例 2：

输入：nums = [1,2,1,3,5,6,4]
输出：1 或 5 
解释：你的函数可以返回索引 1，其峰值元素为 2；
 或者返回索引 5， 其峰值元素为 6。

提示：

• 1 <= nums.length <= 1000
• -231 <= nums[i] <= 231 – 1
• 对于所有有效的 i 都有 nums[i] != nums[i + 1]

class Solution {
    public int findPeakElement(int[] nums) {

    }
}

6.3 做题思路

注意看题目，题目中给了，可以假设 nums[-1] = nums[n] = 负无穷，所以可以将数组看成是从负无穷加到一个峰值，然后再从峰值减小到负无穷，即使你数组中的元素是单调的，也会形成山峰的形状，很明显的二段性，所以使用二分查找的算法。同样将数组分为两部分：小于峰值的部分和大于等于峰值的部分。

6.4 Java代码实现

class Solution {
    public int findPeakElement(int[] nums) {
        int left = 0;
        int right = nums.length - 1;
        while(left < right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if(nums[mid] < nums[mid + 1]) {
                left = mid + 1;
            }else {
                right = mid;
            }
        }

        return left;
    }
}

7.寻找旋转数组中的最小值

https://leetcode.cn/problems/find-minimum-in-rotated-sorted-array/

7.1 题目要求

已知一个长度为 n 的数组，预先按照升序排列，经由 1 到 n 次 旋转 后，得到输入数组。例如，原数组 nums = [0,1,2,4,5,6,7] 在变化后可能得到：

• 若旋转 4 次，则可以得到 [4,5,6,7,0,1,2]
• 若旋转 7 次，则可以得到 [0,1,2,4,5,6,7]

注意，数组 [a[0], a[1], a[2], …, a[n-1]] 旋转一次 的结果为数组 [a[n-1], a[0], a[1], a[2], …, a[n-2]] 。

给你一个元素值 互不相同 的数组 nums ，它原来是一个升序排列的数组，并按上述情形进行了多次旋转。请你找出并返回数组中的 最小元素 。

你必须设计一个时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

示例 1：

输入：nums = [3,4,5,1,2]
输出：1
解释：原数组为 [1,2,3,4,5] ，旋转 3 次得到输入数组。

示例 2：

输入：nums = [4,5,6,7,0,1,2]
输出：0
解释：原数组为 [0,1,2,4,5,6,7] ，旋转 4 次得到输入数组。

示例 3：

输入：nums = [11,13,15,17]
输出：11
解释：原数组为 [11,13,15,17] ，旋转 4 次得到输入数组。

提示：

• n == nums.length
• 1 <= n <= 5000
• -5000 <= nums[i] <= 5000
• nums 中的所有整数 互不相同
• nums 原来是一个升序排序的数组，并进行了 1 至 n 次旋转

class Solution {
    public int findMin(int[] nums) {

    }
}

7.2 做题思路

无论数组旋转多少次，总会将前面部分的升序数组给旋转到后面部分数组的后面，通过画图我们可以看出，这又是明显的具有二段性的数组，可以使用二分查找的算法来解决。

数组的两个部分中，较大的部分中的所有元素都大于较小数组部分的最大值，而我们要找的最小的值也就是在较小的那一部分中，所以我们将数组分为大于 nums[n-1] 的部分和小于等于nums[n-1] 两部分，当 mid 落在大于 nums[n-1] 的部分时，left = mid + 1，当 mid 落在小于等于 numd[n-1] 的部分时，right = mid。

7.3 Java代码实现

class Solution {
    public int findMin(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int left = 0;
        int right = n - 1;
        while(left < right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if(nums[mid] > nums[n-1]) {
                left = mid + 1;
            }else {
                right = mid;
            }
        }

        return nums[left];
    }
}

总结

其实二分查找这个算法不算难，只要主要好边界条件、区间，不造成死循环其实就很简单，只要知道了可以将数组分为哪两部分，就可以直接套模板，通过看上面几道题目的代码我们也可以看出，代码基本上类似，所以大家只要能够将数组分为两部分和不同部分区间的变化条件和区间的变化就可以了。