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单摆运动过程的数学模型
单摆运动的示意图所下图所示：
依据欧拉第二定律，绕固定点所有力矩的和为零，在上图中，有两个力矩施加在点x处
一个是重力力矩，一个是惯性力矩。
重力力矩表示为：
惯性力矩表示为：
其中d(d(θ))表示θ的二阶导数，在这里表示角加速度
根据欧拉第二定律，在x处的力矩之和为零，也就是：
上式进一步简化为：
为了进一步简化问题，假设随着时间的推移，摆角θ将变的足够小，那么sin(θ)约等于θ
上式可简化为：
角速度ω可以表示为：
因此上式可以进一步表示为：
单摆运动过程的Modelica模型
单摆运动过程的Modelica模型的代码如下：
model SimplePendulm1
//设置单位
type Length = Real(final quantity = "Length", final unit = "m");
type Acceleration = Real(final quantity = "Acceleration", final unit = "m/s2");
type Angle = Real(final quantity = "Angle", final unit = "rad");
type AngularVelocity = Real(final quantity = "AngularVelocity", final unit = "rad/s");
//设置常量和参数
parameter Length L = 2;
constant Acceleration g = Modelica.Constants.g_n;
//设置变量
Angle theta;
AngularVelocity omega;
//初始方程
initial equation
theta = 0.1;
omega = 0;
//方程
equation
der(theta) = omega;
der(omega) = -(g / L) * theta;
end SimplePendulm1;
查看仿真结果：
没有进行简化的Modelica模型代码如下所示：
model SimplePendulm13
//设置单位
type Length = Real(final quantity = "Length", final unit = "m");
type Acceleration = Real(final quantity = "Acceleration", final unit = "m/s2");
type Angle = Real(final quantity = "Angle", final unit = "rad");
type AngularVelocity = Real(final quantity = "AngularVelocity", final unit = "rad/s");
//设置常量和参数
parameter Length L = 2;
constant Acceleration g = Modelica.Constants.g_n;
//设置变量
Angle theta;
AngularVelocity omega;
//初始方程
initial equation
theta = 1.57;
omega = 0;
//方程
equation
der(theta) = omega;
der(omega) = -(g / L) * sin(theta);
end SimplePendulm13;
方程der(omega) = -(g / L) * sin(theta)不一样，将theta变成了sin(theta)，以及将初始摆角设置为90度对应于弧度也就是1.57
查看仿真结果，如下图所示：
现在将初始弧度都设置为0.1，比较两个模型的区别，结果如下图所示：
发现曲线几乎重合，但实际上还是会有一点点区别，但是进行如此简化是合理的
现在将初始弧度都设置为1.57，比较两个模型的区别，结果如下图所示：
发现结果差别比较大，因此但摆角比较大时，是不能进行sin(θ)约等于θ的假设的
用角度代替弧度
我们平常几乎都是关心角度的变化，而不是弧度的变化，因此有必要做如此的代替
在Modelica标准库中对于角度单位的定义如下：
type Angle = Real(final quantity = "Angle", final unit = "rad", displayUnit = "deg");
这样子设置角度的单位就可以，仿真结果如下所示：
角速度随着角度的变化趋势，如下图所示：
参考书籍：
《Modelica多领域物理系统建模入门与提高》
原文始发于微信公众号（DotNet学习交流）：基于Modelica的单摆运动过程的仿真
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文章由极客之音整理，本文链接：https://www.bmabk.com/index.php/post/230906.html
